8. СИНТЕЗ СИГНАЛОВ ПО ДИСКРЕТНЫМ ОТСЧЕТАМ

Цель работы — изучение принципов дискретизации и восстановления сигналов на основе теоремы Котельникова.

8.1.Теоретические сведения

Вдискретных устройствах обработки и передачи сигналов возникает необходимость замены непрерывного сигнала s(t) (рис. 8.1, а) совокупностью его дискретных значений s(nT) (рис. 8.2, а). Эти значения называют отсчетами. Обычно отсчеты берут через одинаковые интервалы времени длитель-

ностью T. Она выбирается исходя из верхней граничной частоты fm = ω2πm

спектра исходного сигнала (рис. 8.1, а).

Рис. 8.2

В соответствии с теоремой В. А. Котельникова сигнал s(t), спектр которого ограничен частотой fm , полностью определяется своими отсчетами,

взятыми через интервал времени T ≤1/(2 fm ) . В этом случае сигнал s(t) может быть представлен рядом Котельникова:

Ряд Котельникова представляет собой бесконечную сумму функций вида

81

Эти функции сдвинуты на T =1/(2 fm ) друг относительно друга, а их максимальные значения равны отсчетам сигнала s(kT). Функция fk (t) назы-

вается отсчетной функцией. Ряд Котельникова, как и ряд Фурье, являются примерами ортогональных разложений. Для ряда Котельникова базисной системой ортогональных функций служит множество функций вида (8.2). Для сигнала длительностью Tc общее число отсчетов n =Tc /T = 2 fmTc . Эта

величина называется числом степеней свободы сигнала, или его базой.

В природе нет сигналов, которые имеют одновременно ограниченные длительность и спектр. Однако в инженерных расчетах достаточно учитывать лишь ту часть спектра, в которой сосредоточено 80…95 % энергии сигнала. Поэтому на практике большинство сигналов можно считать сигналами с ограниченным спектром.

Достоинства ортогонального разложения Котельникова следующие. Вопервых, базисная система ортогональных функций выбрана так, что в любой отсчетный момент kT все составляющие ряда обращаются в нуль, кроме одной, равной uk . Во-вторых, коэффициенты ряда нет необходимости вычис-

лять: они равны значениям сигнала в отсчетные моменты kT. В-третьих, относительно проста аппаратурная реализация как дискретизации непрерывного сигнала в импульсную последовательность, так и последующего его восстановления (синтеза).

Если бы имелось устройство, вырабатывающее сдвинутые на Т копии функций fk (t) , то для восстановления исходного сигнала достаточно было

бы умножить их на соответствующие отсчеты s(kT), а результат просуммировать.

Таким устройством может служить идеальный фильтр нижних частот (ИФНЧ) с частотой среза ωm . Частотная характеристика ИФНЧ (рис. 8.3, б)

Рис. 8.3

Импульсная характеристика ИФНЧ g(t) совпадает по форме с функцией f(t) (рис. 8.3, а). Если на вход ИФНЧ подать периодическую последовательность δ-импульсов с периодом Т, то на его выходе возникнет периодическая

82

последовательность откликов вида sin (ωm (t − kT ))(ωm (t − kT )). Подавая на

ИФНЧ вместо δ-импульсов дискретизированный сигнал s(kT), получим на его выходе сумму (8.1), т. е. восстановленный сигнал s(t).

Спектр дискретизированного сигнала Sд(ω) представляет собой перио-

дически повторенный с периодом ω0 = 2Tπ = 2ωm (размноженный) спектр ис-

ходного сигнала S(ω) (рис. 8.2, б). Идеальный ФНЧ с частотой среза ωm выделит только один участок спектральной плотности, в пределах которого спектр Sд(ω) совпадает со спектром исходной функции S(ω) . Следователь-

но, форма выходного сигнала ИФНЧ будет повторять форму исходного сигнала. Сигнал восстановится по его дискретным отсчетам.

Если частота дискретизации ω0 выбрана меньше, чем 2ωm , то получим

частичное наложение (перекрытие) участков размноженного исходного спектра. В результате такого наложения спектр исказится и после выделения идеальным ФНЧ участка спектра [−ωm;ωm ] выходной сигнал будет несколько

отличаться от исходного. Если же частота дискретизации выбрана больше, чем 2ωm , наложения спектра не произойдет, сигнал на выходе ИФНЧ вос-

становится без искажения. Технически не всегда возможно применить большую частоту дискретизации. Чтобы предотвратить искажения из-за перекрытия спектров, возможные в таком случае, предварительно (до дискретизации) ограничивают спектр исходного сигнала. Для этого сигнал пропускают через ФНЧ с такой частотой среза fгр, чтобы удовлетворялись условия теоремы

Котельникова (ω0 ≥ 2 2πfгр). Вследствие ограничения спектра форма сигнала,

конечно, изменится, но эти искажения будут меньшими, чем из-за перекрытия спектров.

Если, как это чаще всего бывает на самом деле, спектр исходного непрерывного сигнала строго в нуль не обращается, то при любом выборе частоты дискретизации составляющие спектра дискретизированного сигнала будут перекрываться. Если такой сигнал подвергнуть восстановлению с помощью ИФНЧ, то фильтр восстановит его с искажениями. Они обусловлены как тем, что «отрезана» часть спектра исходного сигнала выше ωm , так и тем, что на

основной спектр, около нулевой частоты, накладываются «хвосты» от соседних спектральных составляющих. Уменьшить эти искажения можно, пропустив сигнал перед дискретизацией через ФНЧ с частотной характеристикой, близкой к прямоугольной. Эта мера является весьма полезной и в случае, когда производится дискретизация сигнала в присутствии широкополосного шума. При прохождении через ФНЧ шумовая составляющая, а следовательно, и ошибка дискретизации, уменьшаются.

83

Создать последовательность δ-импульсов технически невозможно. Реальные дискретизирующие импульсы имеют малую, но все же конечную длительность (рис. 8.4).

Рис. 8.4

Спектр сигнала при дискретизации этими импульсами, Sдр(ω) , не явля-

ется простым повторением копий исходного спектра. Можно доказать, что этот спектр равен произведению двух спектров (рис. 8.5):

Sдр(ω) = Sд(ω)SΩ(ω) , где Sд(ω) — спектр сигнала, дискретизированного

δ-импульсами (рис. 8.2, а); SΩ(ω) — спектр реального дискретизирующего прямоугольного импульса.

Sдр(ω)

Aτи

Рис. 8.5

Если длительность прямоугольного импульса дискретизации мала по сравнению с интервалом дискретизации Т, то его спектр оказывается широ-

ким и в пределах −ωm < ω< ωm можно считать, что SΩ(ω) ≈1. В этом случае центральная часть спектра Sдр(ω) повторит по форме спектр исходного сиг-

нала и замена δ-импульса реальным коротким импульсом не вызовет ошибок восстановления.

Еще одним источником ошибки является неидеальная фильтрация при восстановлении. Идеальная прямоугольная форма частотной характеристики ФНЧ практически не может быть реализована; для сглаживания используют фильтры с приблизительно прямоугольными характеристиками Kн.ф, очень

часто применяют просто RC-фильтры, имеющие монотонно спадающую характеристику. Импульсная характеристика последних весьма отличается от

84

требуемых функций вида sin x x . На выходе такого фильтра, помимо цен-

тральной части спектра, появятся дополнительные составляющие, вызванные неполным подавлением соседних его участков. Вследствие этого восстановленный сигнал будет отличаться по форме от исходного. Главный метод борьбы с этими погрешностями состоит в увеличении частоты дискретизации.

Используя полосовой фильтр с идеальной частотной характеристикой Kи.п.ф(ω) , можно выделить один из участков спектра со средней частотой

nω0 (рис. 8.2, б), где n = 1, 2, …, и сформировать радиоимпульс с частотой заполнения nω0 и огибающей, совпадающей с исходным сигналом. Этот радиоимпульс имеет полосовой спектр вблизи средней частоты ωср = nω0 шириной 2ωm . Ортогональное разложение для него имеет вид

т. е. базисная система включает в себя совокупность функций, каждая из которых есть модулированное колебание с несущей частотой ωср и огибающей

вида (8.2). Импульсная реакция полосового фильтра gп.ф(t) приблизительно

соответствует такой функции (рис. 8.6). Получается, что отсчеты для радиоимпульсов берутся с интервалом Т, определяемым шириной спектра огибающей ωm , а не максимальной частотой в спектре радиоимпульса nω0 = ωm .

При подобном представлении радиосигнала необходимо выбрать частоту дискретизации так, чтобы несущая частота оказалась кратной ей. С целью уменьшения ошибок восстановления дискретизированного сигнала, возникающих по причинам, изложенным ранее, в реальных устройствах частота дискретизации выбирается равной не 2 fm , как следует из теоремы Котельни-

кова, а в 2…5 раз больше.

85