Кинематика

Принцип Гамильтона-Остроградского

Часто в теоретической механике изучение движения материальной системы сводится к составлению и исследованию ее дифференциальных уравнений движения. Исходным при выводе уравнений Лагранжа второго рода (23.14) являлось рассмотрение мгновенного состояния системы и небольших возможных изменений этого состояния. То есть формировался подход от «дифференциальных принципов», какими, например, являются принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики. Такой метод не является единственно возможным при описании движения системы.

Уравнение (23.14) можно получить и из других принципов, в которых рассматривается движение системы за конечный промежуток времени и небольшие виртуальные изменения движения в этом промежутке. Принципы такого рода известны как интегральные принципы. К ним, в частности,

относится принцип Гамильтона-Остроградского. Для его изложения введем некоторые понятия.

Рассмотрим движение голономной материальной системы с s степенями свободы, положение которой определяется обобщенными координата-ми q1, q2, ..., qs.

Пространством конфигураций называется S-мерное пространство, каждая точка которого определяется заданием S чисел – обобщенных координат q1, q2, ..., qs. Любому положению системы соответствует точка конфигурационного пространства, называемая изображающей точкой. При движении системы изображающая точка описывает в пространстве конфигураций кривую – траекторию движения.

Прямым путем изображающей точки называется геометрическое место ее действительных положений в S-мерном пространстве.

Окольным путем называется геометрическое место воображаемых смещений положений прямого пути, причем смещения в начальный и конечный моменты времени должны равняться нулю. Движение системы по окольному пути начинается и оканчивается в те же моменты времени, что и её движение по прямому пути.

В соответствии с этими определениями прямой путь изображающей точки параметрически представляется уравнениями

Окольные пути получаются из прямого при помощи возможных перемещений δqm и задаются уравнениями:

где δqm изохронные вариации обобщенных координат qm представляют со-

бой любые бесконечно малые дифференцируемые функции, не нарушающие связей системы и подчиненные условиям

Здесь t0 и t1 – фиксированные, но произвольные начальный и конечный моменты времени, в промежутке между которыми рассматривается движение системы. Условия (23.22) называются условиями закрепленности концов окольных путей.

Действием по Гамильтону за промежуток времени (t0, t1) называется величина J, определяемая выражением

где L – функция Лагранжа (23.19). Значение J определяется выбором S функций времени q1, q2, ..., qS, так как функция Лагранжа L системы является в общем случае функцией обобщенных координат qm, обобщенных скоростей

qm и времени t.

Одним из наиболее широко используемых интегральных вариационных принципов является принцип Гамильтона – Остроградского: действие по Гамильтону в истинном движении достигает стационарного значения в сравнении со значениями на всех близких движениях.

Таким образом, из всех возможных движений изображающей точки от ее положения в момент t0 до ее положения в момент t1 истинным будет то движение, при котором функционал (23.23) имеет экстремум (минимум или максимум). Этот принцип применяется для изучения движения голономных систем, подчиненных идеальным, удерживающим стационарным связям и находящимся под действием потенциальных сил (консервативных систем).

Согласно принципу Гамильтона–Остроградского, истинное движение материальной системы таково, что вариация действия по Гамильтону при фиксированных значениях t0 и t1 равна нулю, т. е.

При этом сравниваются движения, для которых выполняются условия закрепленности концов окольных путей (23.22).

Покажем, что принцип Гамильтона–Остроградского вытекает из уравнения Лагранжа второго рода (23.18)для консервативной системы:

следовать при описании с математической строгостью явно немеханических систем (например, в теории поля).

При изучении движения материальной системы, находящейся под действием как потенциальных, так и непотенциальных сил, следует пользоваться интегральным принципом Гамильтона–Остроградского:

при движении изображающей точки вдоль траектории действительного перемещения интеграл (23.34) равен нулю:

Следует отметить, что это уже не вариационная формулировка. Действительно, выделяя в обобщенных силах консервативные силы

где QmНП – непотенциальная обобщенная сила, и учитывая, что

принцип Гамильтона-Остроградского (23.34) для неконсервативной системы можно записать в виде

t1 T П AНП dt 0 ,

t0

n

где AНП QmНП qm – возможная работа непотенциальных сил. Поскольку

m 1

L = T – П, то получим

t1 L dt t1 AНПdt 0 .

t0 t0

Введя величину J * и учитывая определение (23.23), можно записать

Выражение (23.35) утверждает только то, что величина J* на прямом пути равна нулю. Самого же функционала J* не существует. Поэтому принцип Гамильтона–Остроградского для неконсервативной системы

называют интегральным принципом Гамильтона–Остроградского. Вариационным и интегральным принципами Гамильтона-–Остроградского пользуются при составлении дифференциальных уравнений движения материальных систем с распределенными параметрами, при выводе различных форм уравнений динамики (уравнений Лагранжа второго рода, а также при решении задач динамики приближенными методами).

ЛЕКЦИЯ 24

МАЛЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ

Рассмотрим колебания механической системы с S степенями свободы около положения устойчивого равновесия. Выберем начало отсчета

обобщенных координат в положении равновесия, т. е. q10 = q20 ... qS0 0 .

Для описания движения системы воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода

сила. В большинстве случаев при описании колебаний механических систем уравнения (24.1) являются нелинейными и их интегрирование сопряжено с большими трудностями.

При малых колебаниях механических систем около положения устойчивого равновесия, когда отклонения (возмущения) малы, величины обобщенных координат и обобщенных скоростей также малы. Поэтому уравнения (24.1) можно линелизовать, сохранив в них обобщенные координаты и обобщенные скорости только первого порядка малости (в первой степени), и тем самым значительно упростить процедуру интегрирования.

Для составления уравнений Лагранжа второго рода получим выражения для кинетической энергии механической системы, состоящей из n материальных точек, как функции обобщенных координат и обобщенных скоростей. В случае стационарных связей радиус-векторы точек системы

Поскольку потенциальная энергия П определяется с точностью до аддитивной константы, то без ограничения общности можно выбрать начало ее отсчета в положении равновесия, т. е. П(0, 0, ..., 0) 0 .

Первая сумма в (24.10) тоже равна нулю, так как в положении равновесия все обобщенные силы равны нулю:

Учитывая, что рассматриваются малые колебания и так как потенциальная энергия системы П входит в уравнение (24.1) под знаками первых

производных по qm , то для получения линеаризованного вида уравнения

(24.1) ограничимся в (24.10) только слагаемыми не выше второго порядка малости (второй степени) по обобщенным координатам. В этом случае выражение (24.10) принимает вид

где постоянные коэффициенты

называются обобщенными коэффициентами жесткости.

Будем считать, что квадратичная форма (24.11) является определенно положительной, тогда согласно критерию Сильвестера главные

диагональные миноры матрицы cij квадратичной формы должны быть положительными, т. е.

В этом случае при q1=0, q2=0, ..., qs=0 потенциальная энергия П будет иметь локальный минимум, и согласно теоремы Лагранжа-Дирихле равновесие консервативной системы будет устойчивым.

Следовательно, в случае малых колебаний потенциальная энергия системы является положительно определенной квадратичной формой обобщенных координат.