Добавил:

varya496 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

Кинематика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.07.2021

Размер:

1.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 222 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

d ( V rτ )

drτ

τ V

&s τ

или

a aτ

an .

Здесь

(1.13)

(1.14)

aτ

&s τ

вектор касательного ускорения точки, его числовое значение aτ &s , а

(1.15)

вектор

нормального

ускорения

точки,

его

числовое

значение

an V

/ ρ s&/ ρ.

Формула (1.13) выражает теорему Гюйгенса: ускорение точки при

криволинейном движении равно геометрической сумме касательного и

нормального ускорений. Из (1.13) следует, что проекция ускорения точки на

бинормаль всегда равна нулю: ab

0 .

aτ

Вектор касательного ускорения a

M τ

направлен в

точке М по

касательной

траектории в соответствии со знаком

(аналогично

вектору

скорости

V ).

( )

(+)

Вектор нормального ускорения an

V >0

направлен вдоль главной нормали к

aτ>0

центру кривизны траектории (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Поскольку векторы a и an

взаимно

перпендикулярны, то вектор ускорения a точки М изобразим диагональю

прямоугольника, построенного на составляющих a

и an как на сторонах.

Его модуль и направление определяются по формулам

a	aτ2 an2 ;			(1.16)
tg β		aτ	.	(1.17)

		an

Если знаки aτ &s и V s& в данный момент времени одинаковые (оба

положительные (рис. 1.4) или отрицательные), то точка движется ускоренно, а если знаки противоположные замедленно.

Рассмотрим некоторые частные случаи движения точки. Прямолинейное движение точки. Так как траекторией точки является

прямая линия, то ρ . Тогда an V 2 / ρ 0 и a aτ dV / dt . Касательное

ускорение характеризует изменение скорости по величине.

Равномерное криволинейное движение точки. При этом движении величина скорости точки остается постоянной V const , поэтому

aτ dV / dt 0 , и a an V 2 /ρ n , т. е. вектор ускорения точки a направлен

по главной нормали. Нормальное ускорение точки характеризует изменение ее скорости по направлению.

Определим закон равномерного криволинейного движения точки, если при t 0, s s0 . Так как V dsdt , то ds V dt , тогда

s	ds V t	dt ,
s0	0
s s0 Vt .			(1.18)

Формула (1.18) определяет закон равномерного движения точки.

Равнопеременное криволинейное движение точки. При этом движении aτ const . Определим скорость точки и закон ее движения по известной кривой. Пусть при t = 0, s = s0, V = V0. Поскольку aτ dV / dt , то dV aτ dt ;

V dV aτ t dt .

V0 0

Следовательно,

V V0 aτt

или

V V0		aτ		t ,	(1.19)

где знак «+» соответствует равноускоренному движению, а знак « » равнозамедленному движению точки.

С учетом (1.12), выражение (1.19) запишем в виде dsdt V0 aτ t .

Отсюда

s	ds V0 t	dt		aτ		t		t dt ,


s0	0				0
	s s	V	t				a		τ	t2
							a			t2

										.	(1.20)
	0	0							2	.	(1.20)
									2

Формула (1.20) определяет закон равнопеременного криволинейного движения точки.

Равномерное прямолинейное движение точки. В этом случае вектор скорости не изменяется ни по величине, ни по направлению: an aτ 0

и a 0 . Таким образом, единственным движением, при котором ускорение точки равно нулю, является равномерное прямолинейное движение.

Определим касательное и нормальное ускорения точки и значение радиуса кривизны ее траектории, если движение точки задано в координатной форме (1.3):

x x(t);

y y(t);

z z(t) .

Из (1.8) имеем V 2 Vx2 Vy 2 Vz 2 . Вычислим производную по времени от данного равенства:

	2V	dV			&		&	&
	2V			2V V		x	2V V	2V V	,
			dt	x		x	y y	z z	,
			dt
отсюда	dV
aτ	dV		(Vxax		Vyay Vzaz ) /V .				(1.21)
	dt
Из (1.16) находим нормальное ускорение точки
	an			a2 a2 .					(1.22)
Тогда значение радиуса кривизны траектории в точке М определим
по формуле
					ρ		V 2		(1.23)
					ρ		.		(1.23)
							an

ЛЕКЦИЯ 2

КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, перемещается, оставаясь параллельной

своему первоначальному положению.

При поступательном движении точки тела

могут двигаться

по любым траекториям.

Например, кузов автомобиля на прямолинейном

горизонтальном

участке дороги движется

поступательно: траекториями его точек будут

прямые линии. Спарник АВ (рис. 2.1) при

вращении кривошипов О1А и О2В (О1А = О2В =

Рис. 2.1

r) движется поступательно: траекториями точек

спарника являются окружности радиусом r.

Теорема. При поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.

Доказательство. Рассмотрим твердое тело, совершающее поступательное движение относительно неподвижной системы координат Охуz. Возьмем две произвольные точки А и В, положения которых в момент времени t связаны равенством (рис. 2.2):

				rB rA AB	,	(2.1)
где	rA	и	r	радиус-векторы точек А и	В соответственно. Вектор	АВ
			B

является постоянным по модулю и направлению, так как тело абсолютно

твердое					и	оно	движется	z
поступательно.								z
поступательно.
Из (2.1) следует, что для любого
момента времени					положение		точки В	rB		B1
можно получить, смещением точки А на								rB	rA	A1
постоянный вектор					АВ . Следовательно,				rA	A1
траектория		точки			В	тождественна		O		y
траектории		точки			А,	но	смещена	O
траектории		точки			А,	но	смещена
относительно ее на вектор АВ .									x
Дифференцируя равенство (2.1) по									x
Дифференцируя равенство (2.1) по
времени, получим
	drB		drA d( AB)
или	dt		dt			dt
или
							VB VA ,			(2.2)
поскольку		d( AB)		0 .
поскольку				0 .
			dt

Таким образом, скорости точек А и В в любой момент времени геометрически равны.

Z			При дифференцировании равенства (2.2) по
Z			времени имеем
			времени имеем
			B

I				dVB		dVA
				dt		dt
				dt		dt
			или
			aB aA ,		(2.3)
		A	т. е. ускорения точек А и В тела также
II		A	геометрически равны.
II	O		Поскольку изначально точки А и В выбраны
	O		Поскольку изначально точки А и В выбраны
			произвольно, то это означает, что траектории всех
			произвольно, то это означает, что траектории всех
	Рис. 2.3		точек тела при поступательном движении будут
			одинаковы, а их скорости и ускорения в любой

момент времени геометрически равны.

Следовательно, изучение поступательного движения твердого тела сводится к задаче кинематики любой одной его точки (см. лекцию 1).

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Угловая скорость и угловое ускорение

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси

называется движение твердого тела, имеющего две неподвижные точки (А и В). Прямая OZ, проходящая через эти точки, называется осью вращения.

Для определения положения вращающегося тела возьмем две полуплоскости I и II, ограниченные осью вращения OZ (рис. 2.3).

Полуплоскость I неподвижная, а полуплоскость II врезана в тело и вращается вместе с ним. Тогда положение тела в произвольный момент времени t определяют заданием линейного угла двухгранного угла между

этими полуплоскостями:

f (t).

(2.4)

Угол называется углом поворота тела. Уравнение (2.4) определяет

закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

За положительное направление отсчета угла выбрано направление против хода часовой стрелки. В системе СИ угол измеряется в радианах.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются угловая скорость и угловое ускорение.

Пусть за промежуток времени			t t1	t тело повернется вокруг оси OZ
на угол 1		. Угловой скоростью тела в данный момент времени t
называется скалярная величина
		ω lim	d
		t 0	t	dt ,
		ω &.									(2.5)
Числовое значение угловой скорости равно первой производной от угла
поворота тела по времени.
Угловая скорость характеризует изменение угла поворота тела в
единицу времени. Угловая скорость измеряется в рад/с или c 1 . Знак в (2.5)
определяет направление вращения тела.				Если ω 0 ,					то вращение
Z		Z		Если ω 0 ,					то вращение
Z		Z		вокруг	оси			OZ	происходит
				против	хода			часовой		стрелки
				(рис. 2.4, а), а если							ω 0 ,
				тогда по ходу часовой стрелки
				(рис. 2.4, б).
				Угловую						скорость
				можно	изобразить					в	виде
				вектора, направленного по оси
O		O		вращения:
				r		k		&			(2.6)
				ω		k			k ,		(2.6)
0	0	0	0	где k орт оси OZ. Вектор ω
а		б		направлен вдоль оси OZ, если
а		б		ω & 0 , и				против		оси OZ,
		Рис. 2.4		ω & 0 , и				против		оси OZ,
		Рис. 2.4		если ω & 0 , т.					е.	с	конца
				если ω & 0 , т.					е.	с	конца
				вектора	ω		вращение				вокруг
оси всегда видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 2.4).
Если за время t = t1 t угловая скорость изменилась на величину
Δω = ω1 ω, то угловым ускорением тела в данный момент времени t
называется величина ε, определяемая выражением

ε lim	ω	dω
t 0	t	dt
или
& &			(2.7)
ω		.	(2.7)

Числовое значение углового ускорения тела равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.

Угловое ускорение ε характеризует изменение угловой скорости ω тела в единицу времени. В качестве единицы измерения ε обычно используется

рад/c2 или с 2.

Угловое ускорение тела можно изобразить в виде вектора ε, направленного по оси вращения OZ:

r	dω	r	r	(2.8)
	dt	&k &k .		(2.8)
	dt
Если величина угловой скорости с течением времени возрастает, то
вращение тела является ускоренным.		В этом	случае векторы ω	и ε

направлены в одну сторону, а их числовые значения имеют одинаковые знаки (или ω 0, ε 0 (рис. 2.4, а), или ω 0, ε 0 ).

Если величина угловой скорости с течением времени уменьшается, то

вращение тела является замедленным. Векторы ω и ε направлены по оси вращения в противоположные стороны, а их числовые значения имеют противоположные знаки ( ω 0, ε 0 , или ω 0, ε 0 (рис. 2.4, б)).

Равномерное вращение. Если угловая скорость тела остается во время движения постоянной, то вращение тела называется равномерным. Найдем

закон равномерного вращения. Пусть при t = 0 (0) 0 , ω(0) ω0 const . Согласно (2.5) запишем ω в дифференциальной форме

d 0 dt

или

d 0dt .

Возьмем от обеих частей этого равенства определенные интегралы,

укоторых нижние пределы соответствуют начальным условиям движения,

аверхние произвольному моменту времени t:


d 0 t		dt .
0	0
Отсюда следует закон равномерного вращения:
0	0t .		(2.9)

Равнопеременное вращение. Если угловое ускорение при движении тела остается постоянным по величине (ε = const), то вращение называется

равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения. Пусть при t = 0, φ(0) = φ0, ω(0) = ω0. Согласно (2.7) запишем ε в дифференциальной форме

ddtω ε

или, разделяя переменные,

dω ε dt .

Интегрируя, получим

ωt

dω ε dt ,

ω0 0

ω = ω0 + ε t

или

ω ω0		ε		t .	(2.10)

Формула (2.10) выражает зависимость угловой скорости от времени при равнопеременном вращении твердого тела. Знак «+» соответствует

равноускоренному, а знак « » равнозамедленному вращениям. Воспользовавшись (2.5), представим (2.10) в виде

t ,

или

d ω0 t dt

t dt .

Интегрируя данное уравнение с учетом начальных условий движения

d ω0 t

tdt

t dt ,

получим закон равнопеременного вращения

0 ω0t

(2.11)

Знак «+» в (2.11) соответствует равноускоренному, а знак « »

равнозамедленному вращениям.

Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Пусть тело вращается вокруг оси OZ и имеет в данный момент времени угловую скорость ω и угловое ускорение ε (ω > 0, ε > 0). Рассмотрим произвольную точку М тела. При вращении тела вокруг оси траекторией точки М является окружность радиусом R, лежащая в перпендикулярной к оси плоскости (рис. 2.5).

Z			Вектор	скорости	V	точки	М	будет
Z			направлен по	касательной к		этой окружности
			направлен по	касательной к		этой окружности
			(V R ) по вращению		тела,	а его	величина
			определяется по формуле (1.12)
				V ds .
d					dt
C		V					ds
R	ds	V	Выразим элементарное перемещение					точки
R			Выразим элементарное перемещение					точки
M			М через элементарный угол поворота d тела.
M			М через элементарный угол поворота d тела.
O			Запишем пропорцию 22ππR dds . Отсюда
			ds R d . Тогда
Рис. 2.5				V ds d R ω R .
				V ds d R ω R .				(2.12)
				dt	dt
Для определения ускорения точки М воспользуемся теоремой Гюйгенса
(1.13)
			a aτ an .					(2.13)
			Найдем выражения			для касательного

инормального ускорений точки через

угловую скорость ω и угловое ускорение ε

тела:

dω

aτ

ω R

R ε R ;

(2.14)

Рис. 2.6

an V 2

ωR 2

ω2 R .

(2.15)

Касательное ускорение

aτ направлено по касательной к траектории

в точке М (по вектору V при ускоренном вращении и против вектора V при

замедленном вращении). Вектор нормального ускорения an всегда

направлен

по радиусу вращения МС = R к оси вращения тела (рис. 2.6).

Величина полного ускорения точки вращающегося тела вычисляется по формуле

2 a2

R ε2 ω4 .

(2.16)

Отклонение вектора полного ускорения a от радиуса R описываемого точкой М окружности определяется углом β:

tg β	a	ε
	τ		.	(2.17)
	a	ω2	.	(2.17)
	n

Поскольку точка М выбрана произвольно, то из (2.16) и (2.17) следует,

что ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям до оси вращения и в данный момент времени образуют одинаковые углы β с радиусами описываемых ими окружностей.

Выражение скорости точки, касательного и нормального ускорений в виде векторных произведений

Проведем из произвольной точки О на оси вращения в точку М радиусвектор r (рис. 2.7). Также изобразим в точке О векторы ω и ε.

Рассмотрим вектор ω r . Вычислив модуль этого вектора

ω r ω r sin α ω R V ,

заметим, что он равен численному значению скорости точки М. Направления векторов ω r

и V также совпадают (оба вектора направлены перпендикулярно плоскости треугольника ОМС, т. е. по касательной к окружности в направлении вращения тела).Следовательно,

V ω r .

(2.18)

Вектор скорости точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор точки.

Формула (2.18) называется формулой Эйлера.

			dr
Согласно	(1.2),	V		,	и	при
Согласно	(1.2),	V	dt	,	и	при
			dt

C	аn
C	аn		V
			V
	R		а
	R		М

		r
	О

k

Рис. 2.7

<<< < Предыдущая 12 / 222 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика

#
06.07.2021482.93 Кб15rWdOWSrcB_I.jpg
#
06.07.2021345.7 Кб8uFhKBiAFxpo.jpg
#
06.07.2021905 Кб8Задание К-6 и пример выполнения задания.docx
#
06.07.2021712.25 Кб8Задание К-7. и пояснение к нему.docx
#
06.07.20211.62 Mб22Кинематика.pdf
#
06.07.20218.27 Mб81Краткий курс лекций. Статика и кинематика..docx
#
06.07.2021285.58 Кб73Маленькая шпаргалка по теормеху.pdf
#
06.07.202117.32 Кб4Перечень тем лекций.docx
#
06.07.2021169.01 Кб5Пример выполнения К-7.docx