Кинематика

Теорема Вариньона

Теорема Вариньона. Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра О равен сумме моментов сил системы относительно того же центра.

Доказательство. Пусть на абсолютно твердое тело действует система сил F1, F2, , F3, ..., Fn , у которых линии действия пересекаются в точке С. Такая

система сил при приведении ее к точке С заменяется равнодействующей R ,

к 1

Теорема доказана. Теоремой Вариньона удобно пользоваться при вычислении моментов сил.

ЛЕКЦИЯ 7

ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ

Задача о приведении плоской системы сил F1, F2, , F3, ..., Fn к точке (центру) О решается применением теоремы Пуансо (6.13).

Согласно этой теореме плоская произвольная системы сил F1, F2 ,

F3, ..., Fn (рис. 7.1, а) при приведении к точке О, лежащей в плоскости их действия, заменяется одной силой

к 1

приложенной в точке О, и парой сил с моментом

Рис. 7.1

Вектор R , равный геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы сил, а момент МО пары, равный сумме алгебраических

моментов всех сил относительно точки О, главным моментом системы сил F1, F2, , F3, ..., Fn относительно этой точки (рис. 7.1, б).

Следовательно, действие данной системы сил F1, F2, , F3,..., Fn на

твердое тело эквивалентно действию на него одной силы R , приложенной в точке О, и одной пары, лежащей в плоскости действия исходной системы сил, с алгебраическим моментом МО (рис. 7.1).

Из (7.1) и (7.2) вытекает, что вектор R от выбора центра О не зависит, а момент МО пары при изменении положения точки О может изменяться вследствие изменения величин и знаков моментов отдельных сил.

Отметим, что модуль и направление главного вектора R вычисляются по формулам (5.9) – (5.11). Однако эта сила не является равнодействующей,

так как заменяет данную систему сил F1, F2, , F3, ..., Fn не одна, а вместе

с парой сил.

Рассмотрим частные случаи приведения плоской системы сил.

1.Если R 0 , а МО 0 , то плоская система сил приводится к равнодействующей, приложенной в точке О.

2.Если R 0 , а МО 0 , то плоская система сил приводится к паре сил.

3.Если R 0 и МО 0 , то плоская система сил приводится к равнодействующей, приложенной в точке О1, отстоящей от точки О на расстояние

OO1 h МО / R .

4. Если R 0 , и МО 0 , топлоскаясистемасилявляетсяуравновешенной.

Условия равновесия для плоской системы

Для равновесия абсолютного твердого тела, находящегося под действием плоской произвольной системы сил, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно любой точки на плоскости были равны нулю, т. е.

Условия (7.3) являются необходимыми достаточными условиями равновесия тела под действием плоской произвольной системы сил.

Если тело находится в равновесии под действием произвольной

аналитических условий равновесия для плоской произвольной системы сил.

Отметим, что в математическом отношении система уравнений равновесия (7.4) будет проще, если в ней в качестве точки О, относительно которой составляется третье уравнение моментов, выбрать точку пересечения линий действия двух искомых сил.

Вторая форма уравнений равновесия эквивалентная системе (7.4) имеет вид

к 1

Это уравнение выражает условие равновесия твердого тела, находящегося под действием системы пар.

Распределенные силы

При расчетах иногда встречаются нагрузки, распределенные вдоль поверхности твердого тела по определенному закону.

1. Простейшим примером распределенных сил, лежащих в одной плоскости, является равномерно-распределенная нагрузка (рис. 7.4, а).

Такая система распределенных сил характеризуется постоянной по величине интенсивностью q − значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного участка АВ. Размерность интенсивности нагрузки [q] = Н/м.

При статических расчетах эту систему параллельных сил можно

заменить равнодействующей Q , приложенной в середине отрезка АВ (рис. 7.4, а), модуль которой равен

2. Силы, распределенные вдоль отрезка АВ по линейному закону.

Для этих сил интенсивность q является переменной величиной, изменяющейся от нуля до максимального значения qm (рис. 7.4, б).

Равнодействующая Q таких сил равна по модулю площади треугольника

АВС

Линия действия этой силы проходит через центр тяжести треугольника, т. е. на расстоянии, d/3 от основания ВС треугольника АВС (рис. 7.4, б).

Равновесие системы тел

Статический расчет системы тел сводится к рассмотрению условий равновесия конструкций, состоящих из тел, соединенных какими-либо связями. Связи, соединяющие части конструкции, называются внутренними. Связи, скрепляющие конструкцию с другими не входящими в нее телами, являются внешними.

При решении задач статики реакции связей входят в число неизвестных, которые необходимо определить из уравнений равновесия. Системы тел, для которых число неизвестных реакций связей равно числу уравнений равновесия, называются статически определимыми. Системы тел, для которых число неизвестных реакций связей больше количества уравнений равновесия, называются статически неопределимыми.

Если при отбрасывании внешних связей (опор) конструкция остается жесткой, то для нее задача о равновесии решается как для абсолютно твердого тела (при действии произвольной плоской системы сил число неизвестных реакций, согласно (7.4), не должно быть больше трех).

Если при отбрасывании внешних связей конструкция не остается жесткой, то наиболее рациональным способом решения подобных задач является расчленение на отдельные тела и составление уравнений равновесия

произвольная плоская система сил, получим 3n уравнений равновесия, позволяющих найти 3n неизвестных.

Например, если отбросить опоры А и В трехшарнирной арки (рис. 7.5), то она не будет жесткой: ее части могут поворачиваться вокруг соединительного шарнира С. На основании принципа отвердивания (аксиома 5) система сил, действующая на арку, должна удовлетворять условиям равновесия для твердого тела.

Для трехшарнирной арки АВС, находящейся под действием произвольной плоской системы сил, получим три уравнения равновесия (7.4)

расчленим конструкцию по соединительному шарниру С на две части и рассмотрим равновесие каждой из частей в отдельности (рис. 7.6).

При действии на трехшарнирную арку произвольной плоской системы сил для каждой части можно записать три уравнений равновесия (7.4):

Добавляя к уравнениям (7.11) согласно аксиоме 4 статики условие равенства модулей реакций в соединительном шарнире С (

XС XС, YС YС ), получим систему шести уравнений (7.11) с шестью

неизвестными X A, YA, X B , YB , XС, YС .

Следовательно, трехшарнирная арка АВС является статически определимой системой, для которой после решения системы уравнений

(7.11) можно найти как реакции внешних связей X A, YA, X B , YB , так и реакции внутренних связей XС, YС .

в)). Поэтому реакция R будет всегда отклонена от нормали к поверхности на некоторый угол . Согласно (7.13) при равновесии тела угол может принимать значения от нуля до некоторого предельного значения сц

( 0 сц ), которое соответствует положению предельного равновесия (рис. 7.9, б).