Кинематика

r

Здесь проекции кориолисовой силы инерции ФС 2m ωe Vr вычислены

в декартовой системы координат Охуz.

Проинтегрируем систему (13.16), воспользовавшись методом послевательных приближений.

Так как угловая скорость Земли ωe 0,000073 c-1 очень мала, то сначала интегрирование проведем, полагая ωe 0 (для свободно падающего тела

величина кориолисовой силы инерции ФС будет много меньше веса mg )

x x1, y y1, z z1 .

Тогда система (13.15) принимает вид

Теперь найдем поправки к этому приближению, полагая

Подставляя (13.20) в (13.16) с учетом (13.19) получим систему дифференциальных уравнений относительно x2 , y2 , z2 :

Интегрируя (13.21) при нулевых начальных условиях, находим

ваются силы взаимодействия между точками (телами) системы. Внешними силами Fке называются силы, действующие на точки системы со стороны

точек (тел), не входящих в состав рассматриваемой системы. Такое деление является условным и зависит от того, какая механическая система изучается.

Свойства внутренних сил

1. Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю.

Действительно, согласно закону равенства действия и противодействия

Аналогичный результат можно получить для сил F12i и F 21i при вычислении

суммы их моментов относительно любой оси. Следовательно, для всех внутренних сил системы

Отметим, что согласно (14.2) и (14.4) внутренние силы образуют уравновешенную систему сил только для неизменяемой системы (абсолютно твердое тело). Для изменяемой системы внутренние силы, приложенные к разным материальным точкам (телам), могут привести к их взаимным

перемещениям, и в этом случае система внутренних сил не будет уравновешенной.

Центр масс механической системы

Движение механической системы зависит от ее суммарной массы и распределения масс точек системы в пространстве. Масса системы М равна сумме масс всех точек (тел), входящих в систему:

к 1

Геометрическая точка С, положение которой определяется радиусвектором:

называется центром масс (центром инерции) механической системы.

Проецируя (14.8) на декартовые оси, получим

координаты к-й материальной точки системы. При непрерывном распределении массы суммы в формулах (14.8) и (14.9) переходят в соответствующие интегралы.

В однородном поле сил тяжести, когда размеры частиц твердого тела много меньше радиуса Земли, центр масс тела совпадает с его центром тяжести. Действительно, если умножить числитель и знаменатель правой

части (14.8) на величину ускорения силы тяжести g , то получим формулу

которая согласно (9.8) определяет положение центра тяжести твердого тела. Здесь pк mк g и P M g вес к-й точки и вес всего тела соответственно.

Следовательно, вблизи Земной поверхности центр масс твердого тела совпадает с его центром тяжести, способы определения которого были изложены выше (см. лекция 9).

где dm γ dV ; а γ объемная плотность вещества. Для однородных тел, так как γ = const , то формула (14.16) принимает более простой вид

(V)

Вычислим моменты инерции некоторых однородных тел.

1. Для тонкого круглого однородного кольца массой М радиусом R

момент инерции относительно оси Сz , перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр С (рис. 14.3, а) определим по формуле (14.12)

( hкz R const ):

к 1

Такой же результат можно получить для момента инерции тонкой однородной цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее центральной оси симметрии.

2. Для круглой однородной пластины массой М и радиусом R вычислим момент инерции относительно центральной оси Сz, перпендикулярной

пластине (рис. 14.3, б). Выделим элементарное кольцо радиусом r и толщиной dr (рис. 14.3, в). Масса этого кольца площадью dS 2πr dr равна

площади пластины. Так как расстояние от выделенного элементарного кольца до оси Сz равно r, то находим

Аналогичный результат можно получить при вычислении момента инерции однородного цилиндра массой М и радиусом R относительно центральной

параллелепипедов со сторонами dx, dy и dz. Тогда dV плотность γ MV l Ma b . Согласно (14.17)

Так как с учетом (14.12) первая сумма в полученном выражении есть ICz . Из

к 1

доказана. Следовательно, из всех осей данного направления наименьший момент инерции будет относительно оси, проходящей через центр масс.

Из (14.23) следует соотношение между моментами инерции относительно любых параллельных осей z1 и z2:

где d1 и d2 расстояние от центра масс С до осей z1 и z2 соответственно. Величины Ixy , I yz , Izx , определяемые равенствами

называются центробежными моментами инерции. Согласно (14.25) они могут иметь любой знак и обращаться в нуль.

Ось Оz, для которой Ixz 0 и I yz 0 , является главной осью инерции

относительно полюса О. Главной центральной осью инерции называется главная ось инерции, проходящая через центр масс С тела.

Отметим два частных случая, когда характер оси отражает симметрию

тела.

1.Если тело имеет плоскость материальной симметрии, то для всех её точек ось, перпендикулярная к плоскости симметрии является главной осью инерции.

2.Если тело имеет ось материальной симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции.

ЛЕКЦИЯ 15 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ

Дифференциальные уравнения движения