Кинематика

Уравнения (20.20) определяют динамические реакции, действующие на ось равномерно вращающегося твердого тела, если осью вращения является ось z.

Назовем статическими реакциями те значения реакций, которые дают уравнения (20.20), если в них положить ω = 0 . Как видно, из уравнений (20.20), динамические реакции могут вообще быть значительно больше статических, причем это зависит не только от значения ω , но и от величин

xC , yC , Ixz , I yz , характеризующим распределение масс тела относительно оси

вращения z.

Однако из уравнений (20.20) следует, что наличие вращения не будет влиять на значения реакций подшипников А и В, если

Равенства (20.21) и (20.22) выражают условия динамической уравновешенности тела, вращающегося вокруг оси z, т. е. условия равенства динамических реакций, действующих на ось вращающегося тела, статическим реакциям.

Условия (20.21) означают, что центр масс тела должен лежать на оси вращения, а условия (20.22) что ось вращения должна быть главной осью инерции тела для начала координат А. При одновременном же выполнении условий (20.21) и (20.22) ось Az будет главной центральной осью инерции тела.

Следовательно, динамические реакции, действующие на ось вращающего тела, будут равны статическим, если ось вращения является одной из главных центральных осей инерции тела. Этот вывод остается справедливым и в случае, если тело вращается неравномерно.

Данная задача позволяет уяснить механический смысл величин Ixz и

I yz , а именно: центробежные моменты инерции Ixz и I yz характеризуют

степень динамической неуравновешенности тела при его вращении вокруг оси z.

Динамическое уравновешивание вращающихся тел представляет собой важную техническую задачу, которая, как было показано, сводится к

определению главных центральных осей инерции тела. Отметим, что любое тело имеет, по крайней мере, три взаимно перпендикулярные главные центральные оси инерции.

Докажем важное положение: любую ось, проведенную в теле, можно сделать главной центральной осью инерции прибавлением двух точечных масс.

Пусть для тела массой m величины xC , yC , Ixz , I yz известны и не равны нулю. Прибавим к телу две массы m1 и m2 в точках B1(x1, y1, z1) и B2 (x2 , y2 , z2 ) соответственно. Тогда из формул (14.9) и (14.25) следует, что если удовлетворить равенствам

главной центральной осью инерции.

Подбирая массы m1 , m2 и их положения так, чтобы удовлетворялись

уравнения (20.23), можно решить поставленную задачу. Частью величин при этом следует, конечно, задаться изначально (например, можно задать

значения m1 , m2 и z1 , z2 , но так чтобы z1 z2 , а x1, y1, x2 , y2 найти из уравнений (20.23)).

Такой метод уравновешивания вращающихся тел широко используется в технике для уравновешивания коленчатых валов, кривошипов, спарников и т. п. При этом окончательная балансировка производится на специальных стендах.

ЛЕКЦИЯ 21 ПРИНЦИПЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Классификация связей

В аналитической механике рассматриваются наиболее общие методы изучения равновесия и движения материальных систем. Объектом исследования в аналитической механике является система материальных точек или тел.

Система материальных точек называется свободной, если положения отдельных ее точек и их скорости могут принимать произвольные значения.

Связь называется неголономной (кинематической), если уравнения связи (21.1) содержат неинтегрируемым образом производные от координат

имеет вид

y& x& tg 0.

c c

Материальная система, на которую наложены голономные связи, называется голономной, а материальная система с неголономными связями –

неголономной.

В дальнейшем будут рассматриваться только голономные системы. Числом степеней свободы голономной материальной системы

называется число S независимых параметров (координат), полностью определяющих ее положение совместимое с наложенными на неё связями.

Если на материальную систему, состоящую из n точек, наложено k голономных связей, то это значит, что не все декартовые координаты точек системы независимы друг от друга. Действительно, независимыми являются

Следовательно, число степеней свободы для рассматриваемой системы равно

Возможные перемещения. Возможная работа

Введем понятия действительного и возможного перемещений на примере одной материальной точки ν 1 , подчиненной одной голономной

связи ( j 1) :

Действительным перемещением dr точки называется бесконечно малое перемещение этой точки под действием активных сил и реакций связи.

Действительное перемещение происходит за время dt в соответствии с дифференциальным уравнением движения точки и уравнением связи (21.4).

Возможным перемещением δr называется воображаемое бесконечно малое перемещение точки, допускаемое связью в фиксированный момент времени. Возможное перемещение не обладает длительностью и не происходит под действием сил.

Дифференциальное уравнение в частных производных, которому r

подчинены возможные перемещения точки δr δx i δy j δz k в положении

M 0 (x0 , y0 , z0 ) , получим, вычислив дифференциал левой части уравнения (21.4) при фиксированном времени, т. е. определив изохронную вариацию функции f (x, y, z, t), и приравняв ее к нулю:

Из сравнения (21.6) и (21.5) видно, что возможное перемещение совпадает с действительным перемещением точки только в случае стационарных связей, когда f / t 0 .

Вводя вектор-градиент функции (21.4) при фиксированном времени

можно условие (21.6) записать в форме скалярного произведения векторов f и δr :

материальную точку системы действует сила Fν (ν 1, 2, ..., n).

ν 1

Под равновесием понимается такое состояние системы, при котором все ее точки под действием приложенных активных сил и реакций связей находятся в покое по отношению к инерциальной системе отсчета, т. е.

Vν t 0 0 , (ν 1, 2, ..., n) .

Докажем необходимость условия (21.12). Пусть материальная система, состоящая из n точек, на которую наложены k голономных идеальных стационарных связей, находится в положении равновесия. Тогда на каждую точку системы действует уравновешенная система сил:

Сообщим точкам системы возможные перемещения δr1, δr2 , ..., δrn . Умножим скалярно каждое уравнение (21.13) на соответствующий вектор возможного перемещения δrν :

Так как связи, наложенные на систему, идеальные, то согласно (21.11) вторая сумма в (21.15) равна нулю. Следовательно,

ν 1

что и требовалось доказать.

Докажем достаточность условия (21.12). Допустим обратное, что при выполнении условия (21.12) система начнет движение из состояния покоя,

т. е. ее точки испытают действительные перемещения drν (ν 1, 2, ..., n) , а действующие на систему активные силы и реакции связей совершат на этих

В любой момент движения геометрическая сумма всех приложенных

Мысленно зафиксируем время t и сообщим точкам системы возможные перемещения δr1, δr2 , ..., δrn соответственно. Скалярно умножим каждое

уравнение (21.18) на соответствующий вектор возможного перемещения δr и сложив найденные n уравнений, получим:

ν 1

Равенство (21.20) называется общим уравнением динамики: в

каждый момент движения голономной системы, подчиненной идеальным стационарным связям, элементарная работа активных сил и сил инерции на возможном перемещении системы равна нулю.

В декартовых координатах

Fν Fνxi Fνy j Fνzk ,

Фν mν&xνi mν&yν j mν&zνk ,

δrν δxνi δyν j δzνk ,

где i , j, k – орты соответствующих декартовых осей. Уравнение (21.20) можно записать в виде

n

Fνx mν&xν δxν Fνy mν&yν δyν Fνz mν&zν δzν 0. (21.21)

ν 1