Кинематика

p2 B sin γ 2bpB cos γ k2 B sin γ h0 sin γ cosβ cos γ sinβ . (12.26)

Приравнивая коэффициенты при sin γ и cos γ в левой и правой частях уравнения (12.26), получаем систему алгебраических уравнений относительно постоянных В и β:

Постоянные интегрирования A и α, входящие в первое слагаемое (12.30), можно определить подстановкой в (12.30) и в выражение для соответствующей скорости x& начальных условий движения материальной точки (11.5).

Согласно (12.30) прямолинейные колебания точки являются сложными и складываются из собственных затухающих колебаний (первое слагаемое) и вынужденных колебаний (второе слагаемое).

Собственные колебания по истечении некоторого промежутка времени tу , называемого временем установления, довольно быстро затухают, и

характер колебаний системы будут определять только вынужденные колебания.

Следовательно, вынужденные колебания точки представляют собой гармонические колебания с амплитудой В, определяемой формулой (12.27),

и частотой ω, равной частоте возмущающей силы H .

При наличии сопротивления вынужденные колебания сдвинуты по фазе относительно возмущающей силы на величину β (12.28).

Период установившихся колебаний будет равен периоду вынужденных

Тогда с учетом (12.33) формулы (12.27) и (12.28) для амплитуды В и сдвига фаз β принимают вид

1. Если частота возмущающей силы H много меньше собственной частоты ( ω < k ), то, раскладывая (12.35) и (12.36) в ряд Тейлора по степеням безразмерного параметра малости λ << 1 и ограничиваясь квадратичными слагаемыми, получаем

Здесь δст величина статического отклонения точки М от положения

равновесия О под действием постоянной силы, равной по величине H0 . Колебания в этом случае происходят с амплитудой равной статическому отклонению δст и сдвигом фаз β 0 , т. е. фазы вынужденных колебаний и

возмущающей силы H все время совпадают.

2. Если частота возмущающей силы H много больше собственной частоты ( ω k ), то λ1 0 . Из (12.35) следует, что величина амплитуды В вынужденных колебаний становится малой. Если считать сопротивление малым ( λη 0 ), то для оценки В можно получить приближенную формулу

Этот случай представляет наибольший интерес для проблем виброзащиты сооружений, механизмов, машин, и т. п.

3. Если частота возмущающей силы H совпадает с собственной частотой ( ω k ), то величина амплитуды В вынужденных колебаний точки

достигает максимального значения Bрез , и имеет место явление, называемое

резонансом.

Действительно, представим в (12.35) амплитуду В как функцию безразмерного параметра ξ λ2

Из (12.39) видно, что амплитуда В вынужденных колебаний будет достигать максимального значения Bрез , если величина f (ξ) (1 ξ)2 4η2ξ, стоящая в знаменателе, имеет минимум. Решая уравнение

f(ξ) 2(1 ξ 2η2 ) 0

ипроверяя условие на минимум функции f (ξ)

f (ξ) 2 0 ,

находим, ξmin 1 2η2 . Отсюда получаем, что при частоте возмущающей силы равной

амплитуда В вынужденных колебаний достигает максимального значения. Если сопротивление мало ( η 1, k 2b ), то, раскладывая (12.40) в ряд

по малому параметру η2 b2 , получаем, что резонанс имеет место, если k2

ωрез k(1 b2 ) k .

k2

В этом случае при резонансе амплитуду вынужденных колебаний и сдвиг фаз можно оценить по формулам:

вынужденных колебаний может достигать довольно больших значений.

Из (12.40) имеем, что при достаточно большом сопротивлении среды ( k 2b ) резонанс выражен слабо (амплитуда Bрез невелика), а при k 2b

резонанс вообще не возникает.

Проведенные исследования вынужденных колебаний приводят к следующим выводам:

1) амплитуда В вынужденных колебаний и сдвиг фазы β от начальных условий движения материальной точки не зависят;

2)вынужденные колебания при наличии сопротивления не затухают;

3)частота и период вынужденных колебаний равны частоте и пери-

оду возмущающей силы H ;

4) даже при больших значениях возмущающей силы H вынужденные колебания точки около положения равновесия будут малыми, если частота этих колебаний ω будет много больше собственной частоты k ;

5) даже при малой возмущающей силе H вынужденные колебания точки перестают быть малыми, если сопротивление среды мало, а частота вынужденных колебаний ω близка к собственной частоте k (резонанс).

ЛЕКЦИЯ 13 ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Рассмотрим материальную точку массой m, движущуюся под действием сил взаимодействия с другими телами F1, F2 ,..., Fn относительно подвижных осей Охуz, которые произвольно перемещаются относительно инерциальной (неподвижной) системы отсчета O1 XYZ (на рис. 13.1

r n r

R Fк ). Найдем зависимость между относительным ускорением точки и

к 1

действующими на нее силами.

В инерциальной системе отсчета O1 XYZ основной закон динамики для абсолютного движения точки (10.4) имеет вид

к 1

По теореме Кориолиса о сложении ускорений при сложном движении точки

(4.22) имеем

части (13.3) имеют размерность силы, введем следующие обозначения. Вектор

кориолисовой силой инерции.

Согласно (13.4) и (13.5) векторы Фе и ФС направляются противоположно переносному ускорению aе и ускорению Кориолиса aC соответственно.

Тогда с учетом (13.4) и (13.5) выражение (13.3) принимает вид

механики относительного движения точки составляются также как уравнения абсолютного движения, если к действующим на точку силам

F1, F2 ,..., Fn прибавить переносную Фе и кориолисову ФС силы инерции».

Согласно (13.6) в неинерциальной системе отсчета Охуz материальная точка получает ускорение, как за счет действующих сил F1, F2 ,..., Fn , так и в результате ускоренного движения самой системы отсчета, т. е. появление переносной Фе и кориолисовой ФС сил инерции имеет кинематическую

причину.

Частные случаи.

1. Если подвижная система координат Охуz движется поступательно, то угловая скорость переносного движения точки е 0 и согласно (13.5)

ФС 0 . Тогда закон относительного движения точки имеет вид:

к 1

2. Если подвижные оси координат Охуz перемещаются поступательно равномерно и прямолинейно, то переносная и кориолисова силы инерции

равны нулю ( Фe 0 , ФС 0 ), и закон относительного движения точки имеет

тот же вид, как и закон относительно неподвижных осей (13.1). Поэтому такая подвижная система отсчета Охуz будет инерциальной.

Отсюда следует принцип относительности классической механики,

установленный Галилеем: «Никаким механическим экспериментом нельзя обнаружить, находится ли данная система отсчета в покое или совершает поступательное, равномерное и прямолинейное движение».

является результирующей силы тяготения Fт и переносной силы инерции Фne , обусловленной вращением Земли, т. е.

Направление вектора P определяет линию отвеса (вертикали) в данной точке земной поверхности, составляющей с плоскостью экватора угол , называемый географической широтой ( = + ). Плоскость

перпендикулярная силе P является горизонтальной плоскостью. Модуль

P cos F cos Фne ,

P sin F sin ,

или, подставляя значения модулей сил, после не сложных преобразований получим

к ее центру С.

Из (13.10) следует, что вес Р и значение ускорение свободного падения g зависят от широты . Действительно, из (13.11) находим

или, ограничиваясь в разложении первой степенью малости по , получим

Отсюда вытекает, что наименьшее значение вес тела P mg имеет на экваторе ( = 0, переносная сила инерции достигает максимальной величины Фne max 0,0034 % Fт ), так как gmin g0 1 g0 2 R 9,78 м/c2 , а

наибольшее на полюсе ( = /2, переносная сила инерции обращается в

нуль Фen 0 ), поскольку gm ax g0 9,82 м/c2 .

В случае равновесия тела на поверхности Земли под действием системы сил, выделяя из их числа силу тяготения Fк Fк' Fт , уравнение относительного покоя (13.8) принимает вид

Fк' Fт +Фen 0

такое же, как если бы система отсчета, связанная с Землей считалась неподвижной.

Следовательно, при составлении уравнений равновесия тел по отношению к Земле дополнительных поправок на вращение Земли вводить не надо.

Относительное движение тел вблизи поверхности Земли

Теперь рассмотрим, как влияет вращение Земли при движении материальной точки В по ее поверхности (рис. 13.3). Выделяя из числа

действующих на нее сил силу тяготения ( Fк Fк' Fт ), запишем основной закон динамики относительного движения (13.6)

Из сравнения (13.14) с (13.1) следует, что когда при составлении уравнений движения, оси, связанные с Землей, считают неподвижными, то пренебрегают учетом только кориолисовой силы инерции, модуль которой согласно (13.5) равен

ФС 2m ωe Vr sin(ωe Vr ) .

Поскольку угловая скорость Земли ωe 0,000073 c-1 очень мала, то при малой

исследовании движения тел с Землей связывают инерциальную (неподвижную) систему отсчета.

Учет вращения Земли приобретает значение при больших относительных скоростях (при расчете движения баллистических ракет) или для продолжительных по времени движениях (течение рек, воздушные и морские течения).

Рассмотрим материальную точку В, равномерно движущуюся в северном полушарии по меридиану с юга на север (рис. 13.3, а). В этом случае

ускорение Кориолиса aC направлено по касательной к параллели на запад,

Тогда кориолисова сила инерции ФC согласно определению (13.5)

направлена в противоположную сторону, и под действием этой силы точка В будет отклонятся на восток.

Если же точка В движется в северном полушарии с севера на юг (рис. 13.3, б), то под действием кориолисовой силы инерции ФC точка

отклонится на запад.

В обоих случаях в северном полушарии вследствие вращения Земли тело, движущееся по земной поверхности, будет откланяться вправо от