Кинематика

mz (F ) , и значит, обладают такими же свойствами. Например, из (8.9) получаем простое правило вычисления mZ (mV ) :

т. е. момент количества движения точки относительно оси Оz равен алгебраическому моменту проекции mV вектора количества движения на

перпендикулярную оси Оz плоскость I относительно точки О пересечения данной оси с этой плоскостью (рис. 16.1).

В (16.4) h1 плечо вектора mV относительно точки О. Причем mZ (mV ) > 0, если с положительного конца оси поворот при действии вектора mV виден происходящим вокруг точки О против хода часовой стрелки,

иmZ (mV ) < 0, если поворот по ходу часовой стрелки.

Вдекартовой системе координат

относительно осей х, у, z соответственно.

Тогда модуль момента количества движения точки относительно

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек.

Главным моментом количеств движения (кинетическим моментом) системы относительно центра О называется вектор KO , равный

геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра:

Здесь ri радиус вектор i-й точки системы, проведенный из центра О, miVi вектор ее количества движения.

В декартовой системе координат кинетический момент системы KO может быть разложен по трем ортогональным осям KO Kxi K y j Kzk , где его проекции Kx , Ky , Kz определяются как моменты количества

движения точек системы относительно соответствующих координатных осей:

(кинетический момент) системы является характеристикой ее вращательного движения.

Вычислим кинетический момент твердого тела относительно оси вращения Оz, если угловая скорость тела в данный момент времени равна ω (рис. 16.2). Любая i-я точка тела при его движении будет описывать окружность радиусом hzi в перпендикулярной оси Оz плоскости. Вектор ее

вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

Если система состоит из n тел, вращающихся вокруг оси Оz с угловыми

Теорема об изменении кинетического момента механической системы

Вычислим производную по времени от кинетического момента системы относительно неподвижного центра О:

центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра

О, т. е.

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какого-либо центра равна момент равнодействующей сил, приложенных к точке, относительно того же центра.

В декартовой системе координат векторное уравнение (16.19) эквивалентно трем скалярным равенствам. Принимая центр О за начало декартовой системы координат Охуz, получим

Отметим, что интегрирование (16.20) возможно, когда известны зависимости координат материальной точки х, у, z от времени, но тогда вообще отпадает надобность в применении равенств (16.20). Однако существует случай движения точки под действием центральной силы, когда имеет место интеграл движения (16.16), и момент количества движения точки

определяется знаком cosα:

Следовательно, если сила перпендикулярна элементарному перемещению, то ее элементарная работа равна нулю.

В декартовой системе координат поскольку

Пусть материальная точка В совершает конечное перемещение из положение Во в положение В1, описывая дугу B0 B1 (рис. 17.1). Работа силы

F на конечном перемещении B0 B1 равна криволинейному интегралу, взятому от элементарной работы вдоль этого перемещения:

или в декартовых координатах

В системе СИ единицей измерения работы является 1 джоуль (1Дж = 1 Н м).

Мощностью N называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени:

Мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость. Если работа совершается равномерно, то мощность

где t1 время в течение которого, совершена работа А.

Единицей измерения мощности в СИ является ватт (1 Вт = 1 Дж/c). В технике за единицу мощности иногда принимается лошадиная сила

(1 л.с. = 736 Дж).

Из (12.8) следует, что A N t1 , и работу, произведенную машиной,

измеряют в киловатт-часах (1кВ ч = 3,6 106 Дж).

В ряде случаев для вычисления работы сил удобно использовать готовые формулы. Получим некоторые из них.

Следовательно,

т. е. работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения.

Работа положительна, если точка В приложения силы P опускается, и отрицательна, если точка В поднимается над земной поверхностью.

3. Работа силы упругости. Рассмотрим груз В, движущийся по гладкой горизонтальной плоскости из положения В0(х0) в положение В1(х1) (рис. 17.4). К грузу прикреплена пружина жесткости c, длина недеформированной пружины l0. Поместим начало отсчета оси Ох в конец недеформированной пружины. Тогда в произвольном положении груза В деформация пружины λ х и на груз действует сила упругости: