Кинематика

Величины, обратные коэффициентам жесткости, называются

коэффициентами податливости.

Следовательно, при последовательном соединении пружин податливость эквивалентной пружины равна сумме податливостей данных пружин.

Из (11.24) найдем коэффициент жесткости с эквивалентной пружины:

коэффициент жесткости с эквивалентной пружины можно вычислить, используя формулу

В дальнейшем при решении задач о колебании тела М на произвольной системе параллельно и последовательно соединенных пружин заменяем их одной эквивалентной пружиной с коэффициентом жесткости с, который определяем применением формул (11.21), (11.26) в зависимости от вида их соединения.

Затухающие колебания точки

Рассмотрим материальную точку М массой m, движущуюся прямолинейно вдоль неподвижной оси Ох под действием восстанавливающей силы

F и силы вязкого сопротивления среды R μV , которая направлена противоположно вектору скорости V точки М (рис. 11.6).

среды. Запишем основное уравнение динамики точки в проекции на ось Ох:

max Fx Rx

или

Разделив (11.28) на m и введя обозначение

где параметр b характеризует влияние сопротивления среды на движение материальной точки.

Уравнение (11.30) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний при линейно-вязком сопротивлении.

Будем искать решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (11.30) в виде

x e t . Подставляя это решение в (11.30) и разделив найденное уравнение на e t 0 , получаем характеристическое уравнение

2 2b k2 0 ,

корни которого вычисляем по формуле

Из (11.31) следует, что в зависимости от соотношений между k и b общее решение уравнения (11.30) имеет разный характер.

1. Если b k (сопротивление мало), то корни (11.31)

характеристического уравнения различные и комплексные

В этом случае общее решение дифференциального уравнения (11.30) имеет вид

Для наглядности в решении (11.34) перейдем от C1 и C2 к другим постоянным A и α по формулам

Тогда подставляя (11.39) в (11.38), получаем общее решение уравнения

(11.30) в виде

Колебания, происходящие по закону (11.36), называются затухающими.

Постоянные интегрирования A и α можно определить, используя начальные условия движения точки (11.5). В (11.36) величина

называется циклической частотой затухающих колебаний.

Наличие в решении (11.36) множителя e bt приводит к тому, что с

течением времени амплитуда Ae bt этих колебаний убывает, стремясь к нулю.

Период Т затухающих колебаний вычисляем по формуле:

Для моментов времени 0, T , 2T , 3T и т. д. амплитуда колебаний (11.36)

принимает соответствующие значения A , Ae bT , Ae 2bT , Ae 3bT и т. д. Следовательно, размахи колебаний (11.36) будут убывать по закону

декрементом.

Сравнивая значения частот (11.8), (11.37), и периодов (11.12), (11.38),

можно сделать вывод, что наличие линейно-вязкого сопротивления, приводит к уменьшению частоты и увеличению периода свободных колебаний точки.

График затухающих колебаний (11.36) материальной точки приведен на рис. 11.7, а, а график ее фазовой траектории на рис. 11.7, б.

На рис. 11.7, б видно, что при затухающих колебания изображающая точка с течением времени стремится к началу координат О на фазовой плоскости.

Подставляя (11.41) в (11.40), находим вид общего решения (11.39) для рассматриваемого случая

Из вида зависимости (11.42) координаты х от времени t следует, что движение материальной точки в случае большого сопротивления среды ( b k ) не носит колебательного характера, и точка M под действием восстанавливающей силы будет постепенно (асимптотически) приближаться к положению равновесия О.

Следовательно, в случае большого сопротивления движение точки является апериодическим движением.

Уравнение (12.4) называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний при отсутствии сопротивления.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение уравнения (12.4) можно записать в виде суммы общего решения x1 однородного

дифференциального уравнения (11.3) и частного решения x2 исходного неоднородного уравнения (12.4), т. е.

Согласно (11.7) запишем общее решение однородного дифференциального уравнения (11.3)

Частное решение x2 неоднородного уравнения (12.4) зависит от вида правой части этого дифференциального уравнения.

1. Если частота возмущающей силы H не равна собственной частоте свободных колебаний ( ω k ), то частное решение уравнения (12.4) будем искать в виде

где постоянную интегрирования B можно определить подстановкой решения (12.7) в исходное уравнение (12.4). Для этого дважды дифференцируя по времени (12.7)

Приравнивая коэффициенты, стоящие при функции sin ωt в левой и правой частях равенства (12.9), имеем

(k2 ω2 )B h0 ,

откуда находим

С учетом (12.10) частное решение (12.7), соответствующее вынужденным колебаниям точки, принимает вид

Подставляя (12.7) и (12.11) в (12.5), получаем общее решение дифференциального уравнения (12.4) вынужденных колебаний при отсутствии сопротивления:

где постоянные интегрирования A и α определяем по начальным условиям движения точки (11.5).

Из (12.12) следует, что колебания точки являются сложными, которые складываются из собственных колебаний с амплитудой А и частотой k и вынужденных колебаний с амплитудой В и частотой ω, совпадающей с

частотой возмущающей силы H .

2. Если частота возмущающей силы H равна собственной частоте колебаний ( ω = k ), то имеет место явление резонанса неограниченного возрастания амплитуды вынужденных колебаний.

В этом случае частное решение x2 дифференциального уравнения

Приведя подобные слагаемые в (12.15) и приравнивая коэффициенты при sin ωt в левой и правой частях этого равенства, определяем коэффициент

Уравнение (12.21) называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний при линейно-вязком сопротивлении.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение уравнения (12.21) следует записать в виде суммы общего решения x1

однородного дифференциального уравнения (11.30) и частного решения x2 исходного неоднородного уравнения (12.21), т. е.

Частное решение x2 будем искать, исходя из вида правой части уравнения (12.21):

0

Полагая ωt δ β γ и используя соотношение

sin(ωt δ) sin(γ β) sin γ cosβ cos γ sinβ,

запишем (12.25) в виде