Кинематика

Пусть положение материальной точки массой m в инерциальной системе отсчета задано радиус-вектором r (рис. 10.1). В общем случае

равнодействующая сил R , действующих на точку, может зависеть от положения точки, ее скорости и времени, т. е.

С учетом (10.5) и (10.6) основное уравнение динамики (10.1) можно записать в виде

Уравнение (10.7) называется дифференциальным уравнением движения материальной точки в векторной форме.

При решении задач обычно от векторного уравнения (10.7) переходят к скалярным дифференциальным уравнениям движения материальной точки. Для этого проецируют векторное уравнение (10.7) на оси выбранной системы координат. В проекциях на декартовые оси уравнение (10.7) имеет вид

где &x, &y, &z и Rx , Ry , Rz проекции ускорения точки и равнодействующей

сил, действующих на точку, соответственно на оси х, у, z. С учетом (10.4) возможна другая запись уравнений (10.8):

Уравнения (10.8), (10.9) называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

При криволинейном движении материальной точки удобно пользоваться системой осей естественного трехгранника: касательной τ, главной нормалью n и бинормалью b . Проецируя уравнение (10.4) на эти оси, получим

где aτ, an , ab соответственно касательное, нормальное и бинормальное ускорения точки; Fкτ, Fкn , Fкb проекции к-й силы, действующей на точку, на

касательную, главную нормаль и бинормаль. Из кинематики известно, что

Уравнения (10.12) являются дифференциальными уравнениями движения точки в системе естественных осей и называются естественными уравнениями движения. Ими удобно пользоваться для определения неизвестных реакций связей в случае криволинейного движения точки.

Две задачи динамики точки

Рассматривая движение материальной точки под действием сил, динамика ставит целью решение двух основных задач.

Первая задача динамики заключается в определении силы по известному закону движения точки.

Для нахождения модуля и направления силы F (равнодействующей

R ), действующей на материальную точку, необходимо определить проекции этой силы на оси декартовой системы координат или на оси естественного трехгранника (в зависимости от способа задания движения точки). Согласно уравнениям (10.8) и (10.12), эта задача сводится к нахождению проекций ускорения точки, которые определяются дифференцированием по времени соответствующих функций.

Пусть движение точки массой m задано координатным способом, т. е.

известны зависимости координат точки от времени:

Для определения силы F , под действием которой происходит движение, следует:

1) найти проекции ускорения точки на декартовые оси, продифференцировав дважды по времени уравнения движения (10.13):

2) вычислить по формулам (10.8) проекции силы F на оси координат:

3) найти модуль силы F :

Направление силы F определяется с помощью направляющих косинусов:

При естественном способе задания движения, когда известна траектория точки и зависимость криволинейной координаты от времени,

точки, вычислив соответствующие производные по времени от закона движения (10.17):

3) вычислить модуль силы F по формуле

Нахождение значений постоянных интегрирования С1, С2, …, С6 проводится подстановкой начальных условий движения (10.23) в совокупность выражений (10.21) и (10.22)

и решения полученной системы шести алгебраических уравнений относительно шести неизвестных С1, С2, …, С6.

ЛЕКЦИЯ 11

ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ

Колебательные движения материальных тел и механических систем имеют место в различных областях техники. Они сопровождают вибрации машин и их деталей, вибрации инженерных сооружений и их отдельных элементов, движения самолетов и автомобилей, и т. д.

Первоначально для установления основных параметров, влияющих на характер колебательного движения, ограничимся рассмотрением только прямолинейных колебаний тела, приняв его за материальную точку.

В зависимости от действующих на материальную точку сил различают три вида колебательных движений:

1)свободные (гармонические) колебания, происходящие под дейст-

вием линейной восстанавливающей силы, т. е. силы стремящейся вернуть точку в положение равновесия и пропорциональной её отклонению от этого положения равновесия.

2)затухающие колебания, происходящие под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления среды,

3) вынужденные колебания, когда кроме восстанавливающей силы и силы сопротивления среды действует сила, периодически зависящая от времени.

Свободные колебания точки

Рассмотрим материальную точку М массой m, движущуюся прямолинейно вдоль неподвижной оси Ох под действием линейной восстанав-

ливающей силы F , всегда направленной к неподвижному центру О и по закону Гука пропорциональной расстоянию от точки М до этого центра

(рис. 11.1), т. е.

Запишем основное уравнение динамики точки в проекции на ось Ох:

max Fx

или

Разделив (11.2) на m и введя обозначение k2 mc , представляем уравнение в виде

Уравнение (11.3) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний при отсутствии сопротивления.

Будем искать решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (11.3) в виде

x e t . Подставляя это решение в (11.3), получаем характеристическое уравнение σ2 k2 0, которое имеет мнимые корни σ1,2 ki . Тогда общее

решение дифференциального уравнения (11.3) принимает вид

Для удобства исследования движения (11.4) обычно постоянные интегрирования C1 и C2 заменяют другими постоянными A и α. Полагая, что

C1 Asin α, C2 Acos α (11.6)

Колебания, совершаемые точкой по закону (7), являются гармоническими колебаниями.

Здесь величина

называется круговой частотой (собственной частотой) свободных колеба-

ний, которая равна числу колебаний точки за время 2π секунд.

Величина А является амплитудой, kt α фазой, начальной фазой колебаний.

Вычислим скорость точки М:

Для определения постоянных интегрирования А и подставляем начальные условия движения (11.5) в (11.7) и (11.9) и получаем систему алгебраических уравнений:

Решая (11.10) относительно A и α, найдем

Из (11.11) следует, что значение амплитуды А и начальной фазы α свободных колебаний точки зависят от её начальных условий движения.

Промежуток времени Т, за который точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний. Согласно этому определению Т из (7) и (9) следует, что

Asin k(t T ) α Asin kt α ,

Ak cos k(t T ) α Ak cos kt α .

Вид выражений (11.8) и (11.12) означает, что частота k и период Т свободных колебаний точки от начальных условий движения не зависит. Это свойство называется изохронностью, а свободные колебания точки

изохронными.

График гармонических колебаний (11.7) приведен на рис. 11.2, а. Сог-

ласно (11.7) координата х материальной точки изменяется от A до А, т. е. ее максимальное отклонение от центра О равно амплитуде А свободных колебаний. Положение равновесия точка О является центром колебаний:

в этой точке при х= 0 восстанавливающая сила F обращается в ноль.

Для наглядного представления о характере прямолинейных колебаний точки удобно применять следующую геометрическую интерпретацию.

Будем рассматривать координату x точки М и ее скорость x& как декартовые координаты точки плоскости, называемой фазовой плоскостью (рис. 11.2, б). Каждая точка этой фазовой плоскости соответствующая определенному состоянию материальной точки, называется изображающей

материальной точки М соответствующая ей изображающая точка описывает на фазовой плоскости траекторию, называемую фазовой траекторией.

В случае свободных колебаний материальной точки, исключая время t

из зависимостей (11.7) и (11.9), получаем уравнение фазовой траектории изображающей точки

Рассмотрим влияние постоянной силы на характер свободных колебаний на примере задачи о свободных колебаниях тела М на пружине

восстанавливающей силы упругости пружины F , действует сила тяжести P mg постоянная по модулю и направлению ( g ускорение свободного

падения).

Для упрощения математического решения задачи начало отсчета неподвижной оси Ох выберем в положении статического равновесия тела на пружине (рис. 11.3). В произвольном положении материальной точки с координатой х величина полной деформации пружины (ее удлинение)

статического равновесия О (на рис. 11.3 положение точки O1 соответствует нижнему концу недеформированной пружины длиной l0 ).

Тогда значение проекции силы упругости пружины на ось Ох

Вположении статического равновесия О ( x 0 ) величина

восстанавливающей силы равна Fст cδст и на материальную точку

действует уравновешенная сходящаяся система сил, для которой уравнение равновесия

принимает вид:

P Fст 0 .

Отсюда получаем

т. е. в положении статического равновесия сила тяжести уравновешивает силу упругости пружины. Теперь запишем основное уравнение динамики точки в проекции на ось Ох

max Fx P

или

С учетом (11.16) уравнение (11.17) приведем к уравнению (11.2), а затем представим в форме (11.3):

&x k2 x 0 ,

решение (7) которого не изменяется.

Следовательно, при рассмотрении движения тела М на пружине положение статического равновесия О является центром колебаний для материальной точки.

Обобщая эти результаты на случай действия на материальную точку кроме восстанавливающей силы дополнительной произвольной постоянной силы, приходим к следующему выводу: «Любая постоянная сила не изменяет характера колебаний, совершаемых материальной точкой под действием восстанавливающей силы, а только смещает центр этих колебаний в сторону действия этой постоянной силы на величину

статической деформации δст ». Величина δст определяется из формулы

аналогичной (11.16).

Подставляя (11.16) в (11.12), найдем период свободных колебаниях для тела М на пружине

или

P c1δст c2δст 0 .

Отсюда