Кинематика

Физический маятник

Физическим маятником называется твердое тело, которое может совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести (рис. 19.3, а).

Положение физического маятника в произвольный момент времени будем определять углом поворота , отсчитываемом против хода часовой стрелки от вертикали до прямой ОС, соединяющей точку О подвеса тела и его центр масс С. Заданы: вес Р маятника, расстояние ОС и момент

инерции IO маятника относительно горизонтальной оси подвеса О.

Так как это уравнение в элементарных функциях не интегрируется, то ограничимся рассмотрением только малых колебаний маятника, для которых

sin . Тогда уравнение (19.8) принимает вид

По структуре уравнение (19.9) совпадает с дифференциальным уравнением свободных прямолинейных колебаний материальной точки (11.3) и поэтому его общее решение имеет вид

Пусть в начальный момент времени t = 0 маятник отклонен на малый угол(0) 0 и отпущен без начальной скорости &(0) 0 0 , тогда постоянные

интегрирования равны: C1 0 , C2 0 . При данных начальных условиях движения закон малых колебаний маятника будет

Следовательно, малые колебания маятника являются гармоническими.

Период этих колебаний физического маятника определяется по формуле

Из (19.12) следует, что период малых колебаний от угла начального отклонения 0 не зависит. Этот результат является приближенным. Если проинтегрировать исходное дифференциальное уравнение (19.8) в специальных функциях, то можно установить приближенную зависимость Tф

от угла 0 , которая будет иметь вид

определяет период физического маятника с точностью до 1 %.

Один из экспериментальных методов определения моментов инерции (метод маятниковых колебаний) основан на использовании формулы периода малых колебаний физического маятника (19.12). Зная вес Р тела,

расстояние ОС = а и измеряя период малых колебаний Tф тела, можно найти для него момент инерции относительно оси подвеса О по формуле

IO PaTф2 /(4 2 ) .

Полученные результаты охватывают и случай так называемого

математического маятника материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной l (рис. 19.3, б). Для него a OC l ,

Сопоставляя (19.13) с (19.12) находим, что при длине математического маятника

период его колебаний совпадает с периодом колебаний соответствующего физического маятника.

Длина lпр математического маятника, период колебаний которого равен

периоду колебаний данного физического маятника, называется приведенной длиной физического маятника. Точка K, отстающая от оси подвеса на

расстояние OK lпр , называется центром качаний физического маятника

(рис. 19.3, а).

Из формулы (19.15) имеем, что KC lпр a IC / ma . Поэтому, если поместить ось подвеса физического маятника в точке K, то приведенная длина lпр 2 полученного маятника согласно (19.15) равна

lпр 2 KC IC /(m KC) IC /(m a) a lпр .

Следовательно, точки K и О являются взаимными, т. е. если ось подвеса будет проходить через точку K, то центром качаний будет точка О, и период колебаний физического маятника не изменится. Это свойство используется оборотном маятнике, служащем для определения ускорения силы тяжести.

ЛЕКЦИЯ 20 ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

Принцип Даламбера для материальной точки

Рассмотрим несвободную материальную точку массой m, движущуюся относительно инерциальной системы отсчета с ускорением a . Запишем для нее основной закон динамики (10.4):

где F и N соответственно равнодействующие активных сил и реакций связей, приложенных к точке.

Введем силу инерции для материальной точки:

Отрицательный знак в (20.2) означает, что сила инерции Ф направляется противоположно вектору ускорения a .

С учетом (20.2) основной закон динамики (20.1) запишем в форме равновесия сил:

F N m a 0

Уравнение (20.3) выражает принцип Даламбера для материальной точки:

в каждый момент движения геометрическая сумма всех приложенных к материальной точке активных сил, реакций связей и силы инерции равна нулю.

Принцип Даламбера для механической сиcтемы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n точек. Для к-й точки системы с массой mк , движущейся под действием равнодействующей

система этих сил, приложенных к рассматриваемой системе n точек, также будет уравновешенной.

Уравнение (20.4) представляет принцип Даламбера для механической системы: если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной, и к ней можно применять все уравнения статики.

Воспользуемся теоремой Пуансо и приведем эту уравновешенную систему сил к произвольному центру О. Из статики известно, что для произвольной системы сил, находящейся в равновесии, ее главный вектор и главный момент относительно любого центра О должны быть равны нулю. Поэтому условия равновесия (6.17) для системы внешних, внутренних сил и сил инерции материальных точек принимают вид

В проекциях на оси декартовой системы координат векторные уравнения (20.11) в случае произвольной пространственной системы сил дадут шесть скалярных уравнений равновесия:

Для практического применения принципа Даламбера необходимо уметь вычислять главный вектор Ф и главный момент MOи сил инерции точек системы. Из первого уравнения системы (20.11) имеем

Главный вектор сил инерции механической системы (твердого тела) равен произведению массы системы (тела) на ускорение центра масс и направлен противоположно этому ускорению.

Поскольку вектор F е приложен в центре приведения О, то из первого

уравнения (20.11) следует, что и главный вектор сил инерции Ф также приложен в центре О.

Если центр масс точка С движется по криволинейной траектории, то

ускорения этой точки.

Поэтому главный вектор сил инерции Ф следует в точке О разложить на нормальную и касательную составляющие:

Ф Фn Фτ ,

где

перпендикулярной этой плоскости, то при приведении сил инерции точек тела к центру О они заменяются главным вектором Ф M aC ,

приложенным в центре О, и парой сил с моментом Mиz , лежащей в плоскости симметрии Оху (на рис. 20.1 изображено сечение тела плоскостью Оху). Поскольку для вращающегося тела согласно (16.9) Kz Iz ω , то

В случае когда ось вращения z проходит через центра масс С тела перпендикулярно плоскости материальной симметрии ху, поскольку aC 0 , то силы инерции точек тела приводятся только к паре, лежащей в плоскости симметрии тела с моментом MСиz , определяемом согласно (19.16):

3. Плоскопараллельное движение. При плоскопараллельном движении тела, имеющего плоскость материальной симметрии Оху и

Рис 20 2

Динамические реакции подшипников

при вращении тела вокруг оси

Рассмотрим твердое тело, равномерно вращающееся с угловой скоростью вокруг оси, закрепленной в подшипниках А и В (рис. 20.3).

Свяжем с телом вращающуюся вместе с ним декартовую систему координат Ахуz, по отношению к которой координаты центра масс и моменты инерции тела будут постоянными величинами.

Последние уравнение Mez Mиz 0 в (20.19) обращается в тождество,

масса тела. При ω = const центр масс С имеет только нормальное ускорение aС aСn 2hC , где hC расстояние от точки С до оси вращения z.

при ω = const сила инерции имеет только нормальную составляющую Фnк mкω2hк , проекции которой, как и вектора Ф, равны:

Тогда получаем:

mx (Фr к ) Фкy zк mкω2 yкzк; my (Фк ) Фкx zк mкω2 xкzк.

Составляя такие выражения для всех точек системы, складывая их и вынося общий множитель за скобки, придем к равенствам:

Подставляя все найденные значения в (20.19), получим