Богословская Г.П. Все лекции ТМО
.pdf
Частный случай - 2 |
Одна поверхность пластины |
||||
|
|||||
|
теплоизолирована (q =0), |
|
|||
|
на другой задана температура t2 |
||||
|
q |
x |
2 |
|
|
|
|
+ C x + C |
|
||
|
t(x)= − v |
|
|
2 |
|
|
2 |
1 |
|||
|
|
|
|||
Г.У.
dt |
|
= 0 |
dx |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
t(+ |
|
) = t |
2 |
|
2 |
||||
|
|
t(x)= t2 − |
q x2 |
|
q |
|
3q 2 |
|
v |
− |
v |
x + |
v |
||
2 |
2 |
8 |
||||
|
|
|
81
Поле температуры в цилиндрической стенке без
тепловыделения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
t = 0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
2 |
t |
|
|
|
1 |
t |
|
1 |
|
2 |
t |
|
|
2 |
t |
||||||||
|
t = |
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
r |
2 |
|
r |
r |
r |
2 |
q |
2 |
z |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
t |
|
1 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
r dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия однозначности
1. |
геометрические |
- |
r1, r2 |
2. |
физические |
- |
|
t(r1) = t1 |
t(r2 ) = t2 |
3. |
начальные |
- |
|
4. |
граничные |
I рода |
|||
|
|
82
Поле температуры в цилиндрической стенке
замена переменных
du |
+ |
1 |
u = 0 |
|
dr |
r |
|||
|
|
dt |
|
= u |
||
dr |
||||
|
|
|||
du |
= − |
dr |
||
u |
r |
|||
|
|
|||
После двукратного интегрирования
|
|
t(r )= C ln r + C |
2 |
1 |
C |
= |
t |
|
−t |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|||
1 |
|
ln |
(r |
r |
) |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
= t |
− |
t |
|
−t |
|
|
ln r |
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|||||
|
1 |
|
ln |
(r |
r |
) |
1 |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t(r) = t |
− (t |
−t |
|
) |
ln(r |
r ) |
2 |
|
1 |
||||
1 |
1 |
|
|
ln(r |
r ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
83
Поле температуры в цилиндрической стенке
Логарифмический закон изменения температуры по радиусу является следствием уменьшения плотности теплового потока
с увеличением радиуса.
Количество тепла, проходящее через цилиндрическую поверхность
F = 2 rl |
в единицу времени |
Q = − |
dt |
F |
|
|
|
|
|
|
dt dr |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 l(t |
−t |
|
) |
|
|
|
|
из решения уравнения |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Q = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ln(d |
|
d |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ql |
= |
|
Q |
= |
(t1 − t2 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тепловой поток, отнесенный к единице длины |
|
l |
|
1 |
|
d2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 ln d1 |
||||||||||||||
трубы (линейный тепловой поток) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
84
Поле температуры в цилиндрической стенке с внутренним тепловыделением
цилиндрическая стенка с внутренним радиусом r1, наружным r2 , с постоянным коэффициентом теплопроводности и равномерно распределенными
источниками тепла
qv
d |
2 |
t |
|
|
|
||
dr |
2 |
||
|
|
||
tf при
при
+1 dt + r dr
r = r1 r = r2
q |
|
|
|
|
v |
= 0 |
|
||
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
q = 0 |
||||
|
|
|
||
− |
dt |
|
||
dr |
|
|
||
|
|
r |
||
|
|
|
||
|
|
2 |
||
|
dt |
= 0 |
|
или |
dr |
||
|
|||
|
r |
|
|
|
1 |
|
= |
(t |
2 |
−q ) |
|
|
|
▪ используем метод подстановки |
|
|
|
|
|
qv r 2 |
|
||
dt dr = u |
t = − |
+ C1 ln r + C2 |
||
▪ умножаем на rdr |
4 |
|||
|
|
85
Поле температуры в цилиндрической стенке с внутренним тепловыделением
dt |
|
q |
v |
r |
|
C |
|
|
= − |
|
|
+ |
1 |
||
dr |
2 |
r |
|||||
|
|
||||||
Подставляем сюда r1 |
|
|
Из второго граничного условия |
||||||||||||||||||
|
|
q r |
2 |
|
|
|
|
|
q r |
|
q r |
2 |
|
q |
r |
2 |
|
q r |
2 |
|
|
|
|
|
C |
|
= t |
|
+ |
+ |
|
− |
|
− |
|
ln r |
|||||||
C |
= |
v 1 |
|
|
v 2 |
v |
2 |
v |
1 |
v 1 |
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
2 |
|
f |
|
2 |
|
4 |
|
2 |
r |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Распределение температуры в цилиндрической стенке при заданных Г.У.
|
|
|
|
q r |
|
|
|
|
r |
|
|
2 |
|
|
|
q r |
2 |
|
r |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
t(r )= t |
|
+ |
1 |
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
2 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
v |
2 |
|
1 |
|
|
v |
2 |
|
1+ |
1 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
f |
|
2 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qv r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
= t f |
+ |
|
|
|
1− |
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Температура внешней поверхности |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Плотность теплового потока на r2 |
|
|
|
Перепад температур в стенке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
q r |
2 |
|
|
|
r |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
q r |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
q = (t2 − t f )= |
v 2 |
|
|
1− |
|
1 |
|
|
|
|
|
t − t |
|
= |
v 2 |
|
2 |
|
|
− 2 ln |
2 |
−1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
86 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поле температуры в сплошном цилиндре
|
d |
2 |
t |
|
1 dt |
|
q |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
уравнение |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
v |
= 0 |
|
|
|
2 |
r dr |
|
||||||||
|
dr |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
q |
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
решение |
t = − |
v |
|
|
+ C |
ln r + C |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
tf
С1=0
Г.У.
r = r0
r = 0
− |
dt |
= |
(t −t |
|
) |
||
|
f |
||||||
|
dr |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
dt |
= |
0 |
условие |
||||
dr |
симметрии |
||||||
|
|
||||||
r =0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
распределение |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
температуры в цилиндре |
t(r )= t f |
|
qv r0 |
|
qv r0 |
|
r |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
с внутренним |
+ |
|
+ |
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
тепловыделением |
|
|
2 |
|
4 |
|
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поле температуры в сплошном цилиндре
tf
температура внешней поверхности
цилиндра |
|
|
|
|
q r |
t |
|
= t |
|
+ |
|
|
|
v 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
f |
|
2 |
|
|
|
|
|
перепад температур в цилиндре
|
|
|
|
|
q |
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
t = t |
(r =0) |
−t |
2 |
= |
v |
0 |
||
4 |
||||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
плотность теплового потока на поверхности цилиндра
q =
q |
v |
r |
|
0 |
|
|
2 |
|
88
Поле температуры в шаре с тепловыделением
tf
r r
d |
2 |
t |
|
2 dt |
|
|
q |
|
|
* |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
v |
= 0 |
|
||
dr |
2 |
r dr |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Граничные условия: |
|
|
|
|||||||||||
= 0 |
|
|
dt |
|
|
= 0 |
|
|
|
|||||
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|||||||
= r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dt |
= (tw − q) |
|
||||||||
|
|
0 |
|
− |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
подстановка u = dt
dr
умножение всех членов уравнения (*) на r 2dr
89
Поле температуры в шаре с тепловыделением
tf
dt |
|
q |
v |
r |
|
C |
|
|
= − |
|
|
+ |
|
1 |
|
dr |
3 |
|
2 |
||||
|
|
r |
|||||
|
|
|
|||||
t( r ) = − qvr 2 + C1 + C2
6 r
90