Богословская Г.П. Все лекции ТМО
.pdf
ФУРЬЕ Жан Батист Жозеф
1768-1830
51
Коэффициент теплопроводности , Вт/(м К)
2
Механизм теплопроводности
В газах передача энергии осуществляется при столкновении частиц, совершающих поступательное движение.
Из молекулярно-кинетической теории |
= |
1 |
|
|
|
|
с L W |
|
|||||
|
|
|||||
|
|
3 |
|
v |
|
|
- плотность; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сv- теплоемкость; |
|
|
|
|
|
|
L- средняя длина свободного пробега молекул; |
|
|
|
|||
W = |
3RT M |
- средняя скорость молекул
(L ~ 1/P), ( ~ P). Поэтому L. ~const
теплопроводность газов слабо зависит от давления.
воздух ~0,03 Вт/(м K)
53
Механизм теплопроводности
В жидкостях энергия переносится в процессе
|
|
|
|
|
|
|
упругих столкновений колеблющихся |
частиц. |
c |
|
|
4/3 |
|
Из молекулярно-кинетической теории |
|
|
||||
|
p |
|
||||
|
|
|
|
|
||
ля обычных жидкостей: |
= A |
|
|
|
|
|
|
|
|
1/3 |
|||
|
|
|
|
|||
А - коэффициент, пропорциональный |
|
|
M |
|||
|
|
|
|
|||
скорости упругих волн в жидкости; |
|
|
|
|
|
|
М - молекулярный вес. |
|
|
|
|
|
|
Для обычных, слабо ассоциированных жидкостей
t 0 и поэтому 
t 0
вода ~0,6 Вт/(м K) при 20 оС, натрий ~75 Вт/(м K) при 300 оС
54
Механизм теплопроводности
В твердых телах механизм переноса энергии связан с характером теплового движения атомов. Твердое тело - совокупность атомов, совершающих колебания. Эти колебания не зависят друг от друга и передаются (со скоростью звука) от одних атомов к другим.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
ф |
+ |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Фононная составляющая так же, как и для газов: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
C L c |
|
c - скорость звука; L~1/T, |
|
|
~ T |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|||||
|
|
|
ф |
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
k 2 |
- постоянная Лоренца; |
||||||||
Электронная составляющая |
Lо = |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
e |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
s Lо T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
e |
|
|
|
k - постоянная Больцмана; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e - заряд электрона |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s - электропроводность |
|
|
|
|||||||||
серебро ~430 Вт/(м K), медь ~400 Вт/(м K)
55
Механизм теплопроводности
Теплопроводность твердых неметаллических материалов зависит от: • структуры,
•пористости,
•влажности и т.д.
Пример: |
сухой кирпич = 0,35 Вт/(м.К) , |
|
влажный = 1,0 Вт/(м.К) |
Этот эффект связан с конвективным переносом тепла и
.
с капиллярным движением жидкости внутри пор.
Теплоизоляционные материалы - коэффициент теплопроводности менее 0,2 Вт/(м.К)
56
Дифференциальное уравнение теплопроводности
Уравнение сохранения энергии для объема V,
ограниченного поверхностью F
Энергия, подводимая +
к V через F
|
qdF |
+ |
F |
|
|
Энергия, выделяемая внутри V
|
qv dV |
V |
|
|
Энергия, |
|
Энергия, |
= |
отводимая от |
+ |
аккумулируе- |
|
|
||
|
V через F |
|
мая внутри V |
= |
|
qdF |
+ |
|
|
Du |
|
||||||
|
F |
|
|
V |
|
d |
|
|
|
|
|
|
57
Дифференциальное уравнение теплопроводности
Выражаем члены уравнения, обусловленные теплопроводностью,
через закон Фурье
q dF = (− gradt) dF |
|
F |
F |
Используем теорему Остроградского-Гаусса о замене интеграла по поверхности интегралом по объему
от дивергенции
q |
dF = div(q) |
dV = − div( gradt) dV |
F |
V |
V |
58
Дифференциальное уравнение теплопроводности
Подставляем в исходное уравнение энергии
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
Du |
= |
|
div( gradt) dV + |
|
q dV |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
v |
V |
|
|
|
V |
|
V |
|
Из термодинамики
Du = с |
p |
dt − d (PV ) |
|
|
Пренебрегаем изменением давления и удельного объема
Du = c |
p |
Dt |
|
|
c |
|
|
Dt |
= div( gradt)+ q |
||
p |
|
|||||
|
|
d |
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59
Дифференциальное уравнение теплопроводности
В декартовой системе координат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
t |
|
|
2 |
t |
|
|
2 |
t |
|
|
t |
|
t |
|
t |
|||
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
+ |
+ |
+ |
|||||||||||
div( gradt)= |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
x x |
|
y y |
|
z z |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Субстациональная производная от функции для движущейся среды
D |
= |
|
+ |
x |
+ |
y |
+ |
z |
|
d |
|
x |
y |
z |
|||||
|
|
|
|
Dt |
= |
t |
+ W |
t |
+ W |
|
t |
+ W |
t |
|
|
|
y |
|
|
||||
d |
|
|
x |
x |
|
y |
z |
z |
|
|
|
|
|
|
60