Богословская Г.П. Все лекции ТМО
.pdf
Уравнение нестационарной теплопроводности
Ищем t(x , ) |
|
|
|
|
|||
Новая переменная: |
= |
||||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
t |
|
|
|
|
||||
|
|
= a |
|
|
|
|
f |
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение в общем виде:
t |
|
− t(x, ) |
|
|
|
||
f |
нагрев тела |
||||||
|
|
|
|||||
t(x, )− t |
f |
охлаждение тела |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
– температура окружающей среды
|
x |
|
безразмерная |
|
|
|
|
||
|
переменная |
|||
2 |
a |
|||
|
||||
(x, )= Fun |
|
x |
( |
) |
|
|
|
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x, |
|
= |
|
erf |
|
|
|
|
|
||
2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
a |
|||||||||
121
Уравнение нестационарной теплопроводности
|
2 |
z |
|
|
|
erf (z)= |
exp(− x |
2 |
) dx |
||
|
|||||
|
|
||||
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
erf (0)= 0 erf ( )=1
- интеграл ошибок Гаусса (табулированная функция ошибок)
122
Теплопроводность тела с бесконечно малым термическим сопротивлением
Малое внутреннее термическое сопротивление
температура тела изменяется во времени, но одинакова во всех точках тела
Дано:
Произвольное тело объемом V и поверхностью F c начальной температурой tо , охлаждается в среде с температурой tf
Баланс энергии для твердого тела:
c V ddt = t( )− t f F
уменьшение |
количество тепла, |
|
||
внутренней энергии тела |
|
|
|
|
отводимое от поверхности конвекцией |
123 |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
|
Теплопроводность тела с бесконечно малым термическим сопротивлением
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
Решение уравнения |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c V |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
e |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
= t |
о |
− t |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = |
||
α F τ |
|
α F τ λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
||||||
|
|
L |
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= |
|
|
|
|
w |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= |
Bi Fo |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
c ρ V |
|
c ρ V λ |
|
|
|
L |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число Био |
|
|
|
|
|
Число Фурье |
|
|
|||||||
|
|
|
(Biot) |
|
|
|
|
|
|
|
(Fourier) |
|
|
|
|
|||
( )= o e−Bi Fo
124
Теплопроводность тела с бесконечно малым термическим сопротивлением
Мгновенная плотность теплового потока от тела:
( |
) |
|
t |
( |
) |
|
|
q |
|
= |
|
|
− t |
||
|
|
|
|
|
|
|
f |
Суммарное количество тепла, отданное телом за
время
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q = q( ) d = |
(tо − tf )F e |
−Bi Fo |
d |
||
|
|||||
0 |
0 |
|
|
||
Если Bi < 0,1, то ошибка не превышает 5%.
125
Поле температур в полубесконечном массиве
дерево
бетон
металл
Температуры одинаковы: пола - 20оС ноги - 36оС
Ощущения разные
126
.
.
Поле температур в полубесконечном массиве
Полубесконечное тело – тело, ограниченное одной плоской поверхностью. Температура тела вдали от этой поверхности
принимается неизменной. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Пусть тело имеет температуру |
t(x,0)= t o |
|||
|
|
|
2 |
|
|||||
t |
|
|
|
|
t |
|
|||
= a |
|
|
|
x → t( , )= t |
|
|
|||
|
|
|
2 |
При |
o |
= const |
|||
|
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В начальный момент времени tпов меняется скачком и далее остается неизменной
|
t(0, )= t |
пов |
= const |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
tпов − t(x, ) |
|
|
x |
|||||
|
|
|
= erf |
|
|
|
|
|
|
|
tпов − t0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
a |
|||||
решение уравнения |
127 |
|
Поле температур в полубесконечном массиве
Плотность теплового потока на границе
x = 0
q(x =
или
0, )= − |
dt( ) |
|
|
|
|
||
dx |
|
|
|
|
|
x=0 |
|
|
|
|
|
q(x = 0, )= |
|||
=(tпов −to )
(tпов −to )
a
|
|
|
x |
|
|
|
|
erf |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
x |
a |
|
|||
= |
b (t |
пов |
−t |
o |
) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
x=0
b = |
|
|
c |
|
|
|
a |
р |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
теплопроницаемость
(теплоусвояемость)
показывает насколько велико количество тепла, воспринимаемое (или теряемое) телом через один квадратный метр поверхности при внезапном изменении температуры поверхности на 1 градус
128
Поле температур в полубесконечном массиве
Значения теплопроницаемости
b = |
c |
|
p |
|
Вт |
1 |
2 |
|
|
с |
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
К |
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Материал |
b |
|
|
|
|
|
|
Медь |
36 000 |
|
|
|
|
|
|
Железо |
15 000 |
|
|
|
|
|
|
Бетон |
6 600 |
|
|
|
|
|
|
Вода |
1 400 |
|
|
|
|
|
|
Песок |
1 200 |
|
|
|
|
|
|
Дерево |
400 |
|
|
|
|
|
|
Тепловая изоляция |
5 - 200 |
|
|
|
|
|
|
Накипь |
40 |
|
|
|
|
|
|
Газ |
6 |
|
|
|
|
|
129
Поле температур в полубесконечном массиве
дерево |
|
бетон |
|
сталь |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
400 |
6000 |
8000 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
Вт с |
2 |
|
(м К) |
|
q ~ b = |
c |
|
|
|
|
|
p |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
130