Нестационарное поле температуры в пластине
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
= a |
|
|
|
|
|
х |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начальная |
|
|
|
|
|
|
|
температура |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
температура
жидкости
= t − t |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
Начальные условия: |
|
( = 0) = |
0 |
= t |
o |
− t |
f |
|
|
|
Граничные условия:
Нестационарное поле температуры в пластине
Решение уравнения как произведение двух функций:
(x, ) = ( ) y(x)
После разделения переменных:
Предполагаемое решение подставляем в
Решения:
( ) = C exp(− k 2a )
y(x) |
= C cos(kx)+ C sin (kx) |
|
0 |
0 |
(x, ) = C |
exp(−ak |
2 |
) C |
' |
cos(kx) + C |
" |
sin(kx) |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
С и k любые
Нестационарное поле температуры в пластине
|
2 |
|
|
' |
sin(k |
0) + C |
" |
cos(k 0) = 0 |
exp(−ak |
) k − C |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
'' |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
= |
|
|
С |
|
C |
' |
= A |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k A exp(−ak |
2 |
) sin(k ) = |
|
A exp(−ak |
2 |
) cos(k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- половина толщины пластины
Характеристическое уравнение
Нестационарное поле температуры в пластине
Графическое решение
характеристического уравнения
|
|
|
2 |
|
3 |
... |
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частные решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= A cos( |
|
|
x |
) exp(− |
2 |
|
a |
) |
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Общее решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
) exp(−n2 |
|
|
|
a |
|
|
|
= An cos( n |
|
|
) |
|
|
|
|
2 |
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поля температуры в телах простой формы
Общее уравнение для пластины, цилиндра и шара
= t − tf
n=0 для пластины n=1 для цилиндра, n=2 для шара
Граничные условия:
r = 0 (середина пластины, цилиндра, центр шара
Поля температуры в телах простой формы
Решение уравнения как произведение двух функций:
Получаем два обычных дифференциальных уравнения:
Решения:
( ) = C exp(− k 2a )
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
( |
|
) |
y |
0 |
= C |
cos kr |
|
+ C sin |
kr |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
y |
1 |
= C |
J |
(kr ) + C |
Y |
(kr ) |
|
|
|
|
1 |
0 |
( |
|
|
) |
1 |
0 |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C sin |
kr |
|
+ C cos kr |
|
y |
2 |
= |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полное решение |
= C exp(−k |
2 |
уравнения |
a ) yi (kr ) |
|
|
136
Поля температуры в телах простой формы
В безразмерном виде
Для пластины толщиной 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n x |
exp(− n2 |
Fo) |
|
= An cos |
|
0 |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
An = |
2sin n |
|
|
|
|
n +sin n cos n |
|
|
n |
- корни трансцендентного уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
Fo = a |
|
2 |
Bi = w |
|
|
ctg = 
Bi
Поля температуры в телах простой формы
Для цилиндра радиусом R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R) exp(− |
2 |
Fo) |
= |
|
|
A |
J |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
n |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
= |
|
|
|
2J |
|
(− |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
( |
|
) |
|
|
n |
|
2 |
2 |
( |
|
|
)+ J |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
0 |
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
J1( ) = J0( ) Bi
Bi = R
w
Поля температуры в телах простой формы
Для шара радиусом R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
= |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
A |
= |
sin |
n |
− |
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
− sin |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
- корни уравнения |
|
n |
|
Fo = a 
R2
n
n
ctg = 1 − Bi
Bi = R
w
Поля температуры в телах простой формы
