Богословская Г.П. Все лекции ТМО
.pdf
Распределение температуры в пластине
2 |
d |
2 |
t |
|
|
|
|
|
|||
t = 0 |
|
|
= 0 |
||
|
|
2 |
|||
|
dx |
||||
|
|
||||
|
|
|
|
||
Условия однозначности
*
1. |
геометрические |
- |
|
2. |
физические |
- |
|
3. |
начальные |
|
- |
4.граничные I рода
x=0 t=t1 x= t=t2
71
Распределение температуры в пластине
дважды интегрируем уравнение * :
t(x)= C x + C |
2 |
1 |
С1 и С2 из граничных условий
t (x) = t |
− |
t |
−t |
|
x |
1 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тепловой поток
q = − |
dt |
= |
|
(t |
−t |
|
) |
|
|
2 |
|||||
|
dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением
Бесконечная плоская пластина толщиной |
с внутренними |
|
|
|
||||||||
источниками тепла qv Вт/м3, равномерно распределенными по |
||||||||||||
сечению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dt |
|
|
|
2 |
|
q |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
дифференциальное |
|
= a |
t + |
|
v |
|
||||||
|
уравнение |
d |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теплопроводности |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (W grad t ) |
|
|
2 |
|
|
|
q |
|
|
|
||
|
= |
a |
t |
+ |
|
v |
||||||
d |
|
c |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2t = 2t + 2t + 2tx2 y2 z2
температура меняется в одном направлении
73
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением
|
|
d |
2 |
t |
|
q |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
= − |
v |
|
|
dx |
2 |
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
v |
= const |
|
|
|
= const |
||
Условия однозначности
1. |
геометрические - |
|
|
2. |
физические |
- |
|
3. |
начальные |
- |
|
4. |
граничные |
I рода |
|
t(− 2) = t1
t(+ |
) = t |
2 |
t |
|
|
|
|
||||
2 |
|
1 |
|
74 |
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением
Последовательное интегрирование уравнения
|
|
|
|
|
|
|
дает: |
t(x)= − |
q |
x |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
+ C x + C |
|
|||
|
v |
|
|
2 |
||
|
|
2 |
1 |
|||
|
|
|
|
|||
Константы из граничных
условий: |
|
|
|
|
C |
= |
t |
|
−t |
|
2 |
1 |
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
+ t |
|
q 2 |
C |
2 |
= |
|
1 |
+ |
v |
|
|
|
2 |
8 |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
2 |
|
t |
|
− t |
t + t |
|
|
|
||
|
|
|
|
− x2 + |
2 |
2 |
|
|||||||||
|
t(x)= |
v |
|
|
|
|
|
1 |
x + |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75 |
|
|
|
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением
x max
Координата максимальной температуры |
x |
max |
|
dt |
|
q |
v |
x |
|
t |
2 |
−t |
|
|
= − |
|
|
+ |
|
1 |
= 0 |
||
dx |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(t |
2 |
−t |
) |
|
|
|
x |
max |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
v |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76
Частный случай
tmax
t
q |
q |
|
t |
= t |
2 |
= t |
w |
C = 0 |
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q 2 |
|
|
|
t |
(x=0) |
= t |
w |
+ |
v |
= t |
max |
||
|
8 |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перепад температур в пластине
|
|
|
|
|
q 2 |
|
t = t |
(x=0) |
−t |
w |
= |
v |
|
8 |
||||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Тепловой поток на поверхности:
q = − dxdt = q2v
77
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением (Г.У. III рода)
|
|
, |
|
заданы коэффициенты теплообмена на границах |
1 |
|
2 |
|
|
и температуры жидкостей, омывающих поверхности
d |
2 |
t |
|
q |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
= − |
v |
|
dx |
2 |
|
||||
|
||||||
|
|
|
|
|||
t |
f 1 |
, |
t |
f 2 |
|
|
|
граничные условия III рода
|
dt |
= |
( t |
|
−t ) |
|
f 1 |
||||
|
dx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
dt |
= |
|
( t −t |
|
) |
|
dx |
2 |
f 2 |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
78
Распределение температуры в пластине с внутренним тепловыделением (Г.У. III рода)
решение уравнения:
t(x)= − |
q |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
+ C x + C |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
v |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( t |
|
−t |
|
|
) |
|
1 |
− |
q |
1 |
− |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
f 2 |
|
|
f 1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тепловой поток будет меняться в зависимости от координаты х:
q = − |
dt |
= q |
|
x + C |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|||
|
dx |
1 |
|
79 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
Частный случай - нет внутреннего тепловыделения
q = |
|
t |
f 1 |
−t |
f |
2 |
|
= k (t |
|
−t |
|
) |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
f 1 |
|
f 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k – коэф. теплопередачи, Вт/(м2К)
полное термическое сопротивление
R = |
1 |
= |
1 |
+ |
|
+ |
1 |
= R |
+ R |
+ R |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
=1 |
1 |
1 |
|
R |
2 |
= |
|
|
|
|
R3 =1
2
конвективное со стороны 1
кондуктивное (стенки)
конвективное
со стороны 2
80