Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т1 Механика. Основные законы_2014, 12-е изд, 309с

60 Глава 2

2.4. Небольшая шайба движется по наклонной плоскости, коэффициент трения которой k = tg , где — угол наклона плоскости к горизонту.

Найти зависимость скорости v шайбы от угла между вектором v и осью X

Fтр kmg cos . В нашем случае k tg , поэтому

Fтр Fx mg sin .

Найдем проекции ускорения на направление касательной к траектории и на ось X:

ma Fx cos Fтр mg sin ( cos 1), max Fx Fтр cos mg sin (1 cos ).

Отсюда видно, что a ax , а это значит, что скорость v и ее про-

екция vx различаются лишь на некоторую постоянную С, не зависящую от времени, т. е. v vx C, где vx v cos . Постоянную

Снаходим из начального условия v = v0 , откуда C = v0. В результате получим

v v0 /(1 cos ).

Сростом времени 0 и v v0 /2.

2.5.Тонкий однородный упругий шнур массы m и длины l0 (в нерастя-

нутом состоянии) имеет коэффициент упругости k. Склеив торцы, шнур положили на гладкую горизонтальную плоскость, придали ему форму окружности и раскрутили до угловой скорости вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Найти силу натяжения шнура в этом состоянии.

Р е ш е н и е. Мысленно выделим малый элемент шнура массы m, как показано на рис. 2.12, a. Этот элемент движется

по окружности под действием силы, представляющей собой геометрическую сумму двух векторов, каждый из которых равен по

модулю искомой силе натяжения T (рис. 2.12, б). Поэтому, согласно основному уравнению динамики,

Учтем, что m (m/2 ) и r l /2 , l — длина шнура во вращаю-

щемся состоянии.

Тогда (1) примет вид

С другой стороны, по закону Гука,

Заметим, что в случае нерастяжимого шнура (k %)

Tm 2l0 /4 2 .

2.6.Интегрирование уравнений движения. Частица массы m движется под действием силы F. В момент t = 0 известны ее радиус-вектор r(0) и скорость v(0) — начальные условия. Найти положение частицы, т. е. ее радиус-вектор r, в зависимости от времени t, если:

Здесь F0 — постоянный вектор, и k — положительные постоянные.

Р е ш е н и е. 1. Согласно основному уравнению динамики, в данном случае ускорение

dv / dt (F0 /m ) sin t.

Отсюда находим элементарное приращение вектора скорости dv за время dt и затем приращение этого вектора за время от 0 до t:

t

v(t) v(0) (F0 /m ) sin t dt.

0

Учитывая, что v(0) = 0, после интегрирования получим

v(t) (1 cos t)F0 /m .

2.7.Частица массы m движется в некоторой плоскости под действием постоянной по модулю силы F, направление которой поворачивается с постоянной угловой скоростью . В момент t = 0 скорость частицы равна нулю. Найти модуль скорости частицы как функцию времени t, а также путь, проходимый частицей между двумя последовательными остановками.

Р е ш е н и е. Свяжем с данной плоскостью систему координат x, y, взяв ось X в направлении, которое имел

вектор силы в момент t = 0 (рис. 2.15). Тогда основное уравнение динамики в проекциях на оси X и Y будет иметь вид

mdvx /dt F cos t, mdvy /dt F sin t.

Проинтегрировав эти уравнения по времени с учетом начального условия v (0) = 0,

Отсюда видно, что скорость v обращается в нуль через промежуток времени t, который можно найти из условия t/2 . Поэтому искомый путь

t

s v dt 8F/m 2 .

0

Заметим, что траектория частицы имеет вид циклоиды.

2.8.Автомашина движется с постоянным тангенциальным ускорени-

ем a по горизонтальной поверхности, описывая окружность радиуса R. Коэффициент трения между колесами машины и поверх-

ностью равен k. Какой путь s пройдет машина без скольжения, если начальная скорость ее была равна нулю?

Р е ш е н и е. По мере увеличения скорости будет расти как нормальное, так и полное ускорение машины. Движение будет происходить без скольжения, пока необходимое полное ускорение будет обеспечиваться силой трения. Максимально возможное

значение этой силы Fмакс kmg , где m — масса машины. Поэтому максимальное значение полного ускорения (согласно основному уравнению динамики ma F)

64 Глава 2

С другой стороны,

где v — скорость машины в момент, когда ее ускорение станет максимально возможным. Эта скорость и искомый путь s связаны формулой

2.9.Неинерциальные системы отсчета. Спутник движется в экваториальной плоскости Земли с запада на восток по круговой орбите ра-

диуса r. Пренебрегая ускорением, обусловленным движением Земли вокруг Солнца, найти ускорение a спутника в системе от-

счета, связанной с Землей.

Р е ш е н и е. Пусть K —

инерциальная (по условию)

система отсчета, в которой

ось вращения Земли покоит-

ся, a K — неинерциальная

система отсчета, которая свя-

зана с Землей и вращается с угловой скоростью относительно K-системы.

Нас интересует ускорение a спутника в K -системе. Для этого прежде всего изобразим все силы, действующие на спутник в этой системе отсчета: силу тяготения F, силу Кориолиса Fкор и центробежную силу инерции Fцб (рис. 2.16, вид со стороны Северного полюса).

Теперь воспользуемся уравнением (2.18), считая а0 = 0 (по условию). Спутник движется по окружности в K -системе, поэтому запишем уравнение (2.18) в проекциях на нормаль n к траектории:

где F mM /r 2 , m и M — массы спутника и Земли. Остается найти скорость v спутника в K -системе. Для этого воспользуемся формулой (1.24) в скалярном виде

где v — скорость спутника в K-системе. Эту скорость можно определить с помощью уравнения движения спутника в K-системе:

Решив совместно уравнения (1), (2) и (3), получим

В частности, a 0 при r 3 M / 2 4,2 , 104 км. Такой спутник

называют стационарным: он неподвижен относительно поверхности Земли.

2.10.Небольшая муфта массы m свободно скользит по гладкому горизонтальному стержню, который вращают с постоянной угловой скоростью w вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Найти горизонтальную составляющую силы, действующей на муфту со стороны стержня в момент, когда она находится на расстоянии r от оси вращения. (В начальный момент муфта находилась непосредственно около оси и имела пренебрежимо малую скорость.)

Задача, таким образом, сводится к нахождению скорости v муфты относительно стержня. Согласно (2.19),

dv /dt Fцб /m 2r .

Преобразуем это уравнение, имея в виду, что dt dr /v . Тогда получим v dv 2r dr . Проинтегрировав последнее уравнение с учетом начальных условий (v 0, r 0), найдем v r , или в векторном виде

Подстановка (2) в (1) дает

R 2m [wr] .

2.11.Устойчивость движения. Небольшая муфта M может скользить без трения по гладкому проводу, изогнутому в форме полуок-

ружности радиуса r (рис. 2.18). Систему привели во вращение с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси OO . Найти угол 0 , соответствующий устойчивому положению муфты.

F Fцб cos mg sin ,

где справа записаны проекции центробежной силы инерции и

вое условие может быть осуществлено при любых значениях , второе же — только при g / 2r 1. Таким образом, при малыхсуществует только одно положение равновесия — в нижней точке ( 0 0); при больших же ( g/r ) возможно и другое положение равновесия, определяемое вторым условием.

Для устойчивости определенного состояния равновесия необходимо, чтобы сила F при выведении муфты из положения равновесия (в любую сторону) была направлена обратно — к положению равновесия. Другими словами, знак F должен быть противоположным знаку отклонения от равновесного угла 0 .

При малом отклонении d от угла 0 возникающая сила F может быть найдена как дифференциал выражения (1):

F T [cos 0 (cos 0 – g/ 2r) – sin2 0]d .

Это положение равновесия будет устойчивым, когда выражение, стоящее в скобках, отрицательно, т. е. при g /r .

В другом положении равновесия ( cos 0 g / 2r )

F T – sin2 0d .

Видно, что это положение равновесия (если оно существует) всегда устойчиво.

Итак, пока существует лишь нижнее положение равновесия (при g /r ), оно всегда устойчиво. При появлении же другого положения равновесия (когда g /r ) нижнее положение, согласно (2), становится неустойчивым и муфта сразу переходит из нижнего положения в верхнее, которое всегда устойчиво.

§ 3.1. О законах сохранения

Любое тело (или совокупность тел) представляет собой, по существу, систему материальных точек, или частиц. Если система с течением времени изменяется, то говорят, что изменяется ее состояние. Состояние системы характеризуется одновременным заданием положений (координат) и скоростей всех ее частиц.

Зная законы действующих на частицы системы сил и состояние системы в некоторый начальный момент времени, можно, как показывает опыт, с помощью уравнений движения предсказать ее дальнейшее поведение, т. е. найти состояние системы в любой момент времени. Так, например, решается задача о движении планет Солнечной системы.

Однако детальное рассмотрение поведения системы с помощью уравнений движения часто бывает настолько затруднительно (например, из-за сложности самой системы), что довести решение до конца представляется практически невозможным. А в тех случаях, когда законы действующих сил вообще неизвестны, такой подход оказывается в принципе неосуществимым. Кроме того, существует ряд задач, в которых детальное рассмотрение движения отдельных частиц просто и не имеет смысла (например, описание движения отдельных молекул газа).

При таком положении естественно возникает вопрос: нет ли каких-либо общих принципов, являющихся следствием законов Ньютона, которые позволили бы иначе подойти к решению задачи и помогли бы в какой-то степени обойти подобные трудности?

Оказывается, такие принципы есть. Это законы сохранения. Как уже было сказано, при движении системы ее состояние изменяется со временем. Существуют, однако, такие величины, которые обладают весьма важным и замечательным свойством сохраняться во времени. Среди этих сохраняющихся величин наиболее важную роль играют энергия, импульс и момент импульса. Эти три величины имеют важное общее свойство аддитивности: их значение для системы, состоящей из частей, взаи-

модействие которых пренебрежимо мало, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности (впрочем, для импульса и момента импульса свойство аддитивности выполняется и при наличии взаимодействия). Именно свойство аддитивности и придает этим трем величинам особую роль.

Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса имеют, как выяснилось впоследствии, весьма глубокое происхождение, связанное с фундаментальными свойствами времени и пространства — однородностью и изотропностью. А именно: закон сохранения энергии связан с однородностью времени, а законы сохранения импульса и момента импульса — соответственно с однородностью и изотропностью пространства. Сказанное следует понимать в том смысле, что перечисленные законы сохранения можно получить из второго закона Ньютона, если к нему присоединить соответствующие свойства симметрии времени и пространства. Более подробно обсуждать этот вопрос мы, однако, не будем.

Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса относятся к числу тех фундаментальных принципов физики, значение которых трудно переоценить. Роль этих законов особенно возросла после того, как выяснилось, что они далеко выходят за рамки механики и представляют собой универсальные законы природы. Во всяком случае, до сих пор не обнаружено ни одного явления, где бы эти законы нарушались. Они безошибочно «действуют» и в области элементарных частиц, и в области космических объектов, в физике атома и физике твердого тела и являются одними из тех немногих наиболее общих законов, которые лежат в основе современной физики.

Открыв возможность иного подхода к рассмотрению различных механических явлений, законы сохранения стали весьма мощным и эффективным инструментом исследования, которым повседневно пользуются физики. Эта важнейшая роль законов сохранения как инструмента исследования обусловлена рядом причин:

1. Законы сохранения не зависят ни от траекторий частиц, ни от характера действующих сил. Поэтому они позволяют получить ряд весьма общих и существенных заключений о свойствах различных механических процессов, не вникая в их детальное рассмотрение с помощью уравнений движения. Если, например, выясняется, что такой-то процесс противоречит законам сохранения, то сразу можно утверждать: этот процесс невозможен, и бессмысленно пытаться его осуществить.