Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т1 Механика. Основные законы_2014, 12-е изд, 309с

20 Глава 1

Пример. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по законуat bt2 /2, где а и b — некоторые положительные постоянные. Найдем характер движения этого тела.

Согласно (1.15) и (1.16),

z a bt; z b const.

Отсюда видно, что тело, вращаясь равнозамедленно ( z 0) , останавливается в момент t0 a /b, а затем направление вращения (знак z ) изменяется на противоположное.

Отметим, что решение всех задач на вращение твердого тела вокруг неподвижной оси аналогично по форме задачам на прямолинейное движение точки. Достаточно заменить линейные величины х, v x и a x на соответствующие угловые , z и z , и мы получим все закономерности и соотношения для вращающегося тела.

Связь между линейными и угловыми величинами

Найдем скорость v произвольной точки А твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OO с угловой скоростью w. Пусть положение точки А относительно некоторой точки О оси вращения характеризуется радиусом-вектором r (рис. 1.8). Воспользуемся формулой (1.11), поделив ее на соответствующий промежуток времени dt. Так как dr/dt = v и df/dt w, то

т. е. скорость v любой точки А твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси с угловой скоростью w, равна векторному произведению w на радиус-вектор r точки А относительно произвольной точки О оси вращения (рис. 1.8).

Модуль вектора (1.17) v r sin , или

между радиусом-вектором r , жестко связанным с фигурой, и

некоторым фиксированным направлением в K-системе отсчета. Тогда плоское движение твердого тела будет описываться двумя уравнениями:

r0 r0(t), (t).

Если за промежуток времени dt радиус-вектор r точки А (рис. 1.10) повернется на угол df, то на такой же угол повернется и любой отрезок, связанный с фигурой. Другими словами, поворот фигуры на угол df не зависит от выбора точки O . А это значит, что и угловая скорость w фигуры тоже не зависит от выбора точки O , и мы имеем право называть w угловой скоростью твердого тела как такового.

Найдем скорость v произвольной точки А тела при плоском движении. Введем вспомогательную K -систему отсчета, которая жестко связана с точкой O тела и перемещается поступательно относительно K-системы (рис. 1.10). Тогда элементарное перемещение dr точки А в K-системе можно записать в виде

dr dr0 + dr ,

где dr0 — перемещение K -системы (точки O ), а dr — перемещение точки А относительно K -системы. Перемещение dr обусловлено вращением тела вокруг неподвижной в K -системе оси, проходящей через точку O ; согласно (1.11), dr [df, r ]. Подставив это выражение в предыдущее и разделив обе части полученного равенства на dt, найдем

т. е. скорость любой точки А твердого тела при плоском движении* складывается из скорости v0 произвольной точки O этого тела и скорости v [wr ], обусловленной вращением тела вокруг оси, проходящей через точку O . Подчеркнем еще раз, что v — это скорость точки А относительно поступательно движущейся K -системы отсчета, жестко связанной с точкой O .

*Заметим, что формула (1.19) оказывается справедливой и для любого сложного движения твердого тела.

Введем вспомогательную K -систему отсчета, жестко связанную с осями ОА и ОВ. Ясно, что эта система вращается с угловой скоростью w0, и тело вращается относительно нее с угловой скоростью w .

За промежуток времени dt тело совершит поворот df вокруг оси АО в K -системе и одновременно поворот df0 вокруг оси ОВ вместе с K -системой. Суммарный поворот, согласно (1.12), есть df df0 + df . Разделив обе части этого равенства на dt, получим

Таким образом, результирующее движение твердого тела в K-системе представляет собой чистое вращение с угловой скоростью w вокруг оси, совпадающей в каждый момент с вектором w и проходящей через точку О (рис. 1.12). Эта ось перемещается относительно K-системы — она поворачивается с угловой скоростью w0 вместе с осью ОА вокруг оси ОВ.

Нетрудно сообразить, что даже в том случае, когда угловые скорости w и w0 не меняются по модулю, тело будет обладать в K-системе угловым ускорением b, направленным, согласно (1.14), за плоскость (рис. 1.12). Вопрос об угловом ускорении твердого тела более подробно рассмотрен в задаче 1.10.

И последнее замечание. Поскольку вектор угловой скорости w удовлетворяет основному свойству векторов — векторному сложению, w можно представить как векторную сумму составляющих на определенные направления, т. е. w w1 + w2 + ..., где все векторы относятся к одной и той же системе отсчета. Этим удобным и полезным приемом часто пользуются при анализе сложного движения твердого тела.

§ 1.3. Преобразование скорости и ускорения при переходе к другой системе отсчета

Приступая к изучению этого вопроса, напомним, что в рамках ньютоновской механики длина масштабов и время считаются абсолютными. Любой масштаб одинаков в разных системах отсчета, т. е. не зависит от движения. Это же касается и течения времени, которое также одинаково во всех системах.

Постановка вопроса. Имеются две произвольные системы отсчета K и K , движущиеся определенным образом относительно друг друга. Известны скорость v и ускорение а некоторой точки А в K-системе. Каковы соответствующие значения v и a этой точки в K -системе?

Рассмотрим последовательно три наиболее важных случая движения одной системы отсчета относительно другой.

1. K -система движется поступательно по отношению к

K-системе. Пусть в K-системе начало отсчета K -системы характеризуется радиусом-вектором r0, а ее скорость и ускорение — векторами v0 и а0. Если положе-

ние точки А в K-системе определяется радиусом-вектором r, то r r0 r (рис. 1.13). Пусть далее за промежуток вре-

Продифференцировав (1.21) по времени, найдем формулу

движении K -системы без ускорения относительно K-систе- мы, ускорения точки А в обеих системах отсчета будут одинаковы.

2. K -система вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг оси, неподвижной в K-системе. Возьмем начала отсчета

K- и K -систем в произвольной точке О на оси вращения (рис. 1.14, а). Тогда радиус-вектор точки А в обеих системах отсчета будет один и тот же: r r .

Рис. 1.14

Если точка А неподвижна в K -системе, то это значит, что ее перемещение dr в K-системе за время dt обусловлено только поворотом радиуса-вектора r на угол d (вместе с K -системой) и равно, согласно (1.11), векторному произведению [df, r].

Если же точка А движется относительно K -системы со скоростью v , то за время dt она совершит дополнительное перемещение v dt (рис. 1.14, а) и тогда

Разделив это выражение на dt, получим следующую формулу преобразования скорости:

где v и v — скорости точки А в K- и K -системах отсчета соответственно.

Теперь перейдем к ускорениям. В соответствии с (1.24) приращение dv вектора v за время dt в K-системе должно складываться из суммы приращений векторов v и [wr], т. е.

v const, то приращение этого вектора в K-системе обусловлено только его поворотом на угол df (вместе с K -системой) и равно, как и в случае с r, векторному произведению [df, v ]. В этом нетрудно убедиться, совместив начало вектора v с осью вращения (рис. 1.14, б). Если же точка А имеет ускорение a

извольной точки на оси вращения K -системы, получим следующую формулу преобразования скорости:

Аналогичным образом, используя (1.22) и (1.29), найдем

Напомним, что в последних двух формулах v, v и а, a — скорости и ускорения точки А соответственно в K- и K -систе- мах отсчета, v0 и а0 — скорость и ускорение оси вращения K -системы в K-системе, r — радиус-вектор точки А относительно произвольной точки на оси вращения системы, r — ради- ус-вектор, перпендикулярный оси вращения и характеризующий положение точки А относительно этой оси.

Пример. Диск вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг собственной оси, укрепленной на столе. По диску движется точка А с постоянной относительно стола скоростью v. Найдем скорость v и ускорение a точки А относительно диска в момент, когда радиус-вектор, характеризующий ее положение по отношению к оси вращения, равен r.

Скорость v точки А, согласно (1.24),

v v – [wr] .

Ускорение же a найдем с помощью (1.29), учтя, что в данном случае а 0, ибо v const. Тогда a –2[wv ] + 2r. После подстановки в эту формулу выражения для v получим

a 2[vw] – 2r .

Задачи

1.1. Радиус-вектор, характеризующий положение частицы М относительно неподвижной точки О, меняется со временем по закону r A sin t Bcos t, А и B — постоянные векторы, причем A B; — положительная постоянная. Найти ускорение а части-

цы и уравнение ее траектории y(х), взяв оси Х и Y совпадающими по направлению с векторами А и B соответственно и имеющими начало в точке О.

Р е ш е н и е. Продифференцировав r по времени дважды, получим

a2 ( A sin t B cos t) 2 r,

т.е. вектор а все время направлен к точке О, а его модуль пропорционален расстоянию частицы до этой точки.

Теперь найдем уравнение траектории. Спроецировав r на оси Х и Y, получим

x A sin t, y Bcos t.

Исключив t из этих двух уравнений, найдем

x 2/A 2 y 2/B2 1.

Это уравнение эллипса, А и B — его полуоси (рис. 1.15, где стрелкой показано направление движения частицы М).

Рис. 1.15

1.2.Перемещение и путь. Частице в момент t = 0 сообщили скорость

v0, после чего ее скорость стала меняться со временем t по закону v v0 (1 t/ ), где — положительная постоянная. Найти за пер-

вые t секунд движения: 1) вектор перемещения r частицы; 2) пройденный ею путь s.

Р е ш е н и е. 1. Согласно (1.1), dr vdt v0 (1 t/ ) dt. Проинтегрировав это уравнение по времени от 0 до t, получим

r v0 t (1 t/2 ).

2. Путь s, пройденный частицей за время t, равен

s t v dt,

0

где v — модуль вектора v. В данном случае