Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т1 Механика. Основные законы_2014, 12-е изд, 309с

рамки специальной теории относительности, показывает, что часы, движущиеся с ускорением (в нашем случае часы В), идут медленнее, поэтому при возвращении отстанут именно они.

Лоренцево сокращение

Пусть стержень АВ движется относительно K-системы от-

оси Х K-системы метку М и установим около нее часы. Зафиксируем по этим часам время пролета t 0 стержня мимо метки М. Тогда можно утверждать, что искомая длина стержня в K-системе

l V t 0 .

Для наблюдателя, связанного со стержнем, время пролета будет иным. Действительно, для него часы, показавшие пролетное время t 0 , движутся со скоростью V, а значит, показывают «чужое» время. «Свое» время пролета t для этого наблюдателя будет, согласно (7.4), больше. Это время он может найти из соотношения

где V/c. Длину l0, измеренную в системе отсчета, где стержень неподвижен, называют собственной длиной.

Таким образом, продольный размер движущегося стержня оказывается меньше его собственной длины, т. е. l < l0. Это явление называют лоренцевым сокращением. Заметим, что дан-

K-системе отсчета промежуток времени t между моментами

совпадения левых и правых концов стержней.

Пример 3. Две частицы, двигавшиеся в K-системе отсчета по одной прямой с одинаковой скоростью v 4/5 c, попали в неподвижную мишень с промежутком времени t 5 , 10 9 с (в данной системе отсчета). Каким было собственное расстояние между частицами до попадания в мишень?

Расстояние между частицами в K-системе отсчета l v t. Поэтому искомое расстояние, согласно формуле (7.5),

l0 v t/1 (v/c)2 2 м.

Итак, в разных инерциальных системах отсчета длина одного и того же стержня оказывается различной. Иными словами,

длина — понятие относительное, имеющее смысл только по отношению той или иной системы отсчета. Утверждение, что длина тела столько-то метров, не имеет смысла, пока не указано, к какой именно системе отсчета отнесена эта величина.

При малых же скоростях (V c), как следует из (7.5) и видно из рис. 7.8, l 6 l 0 и длина тела приобретает практически абсолютный смысл.

Необходимо отметить, что лоренцево сокращение, как и замедление времени, должно быть взаимным. Это значит, что если мы будем сравнивать два движущихся относительно друг друга стержня, собственная длина которых одинакова, то с «точки зрения» каждого из этих стержней длина другого стержня будет короче, причем в одинаковом отношении. Если бы это было не так, то имелась бы возможность экспериментально отличить инерциальные системы отсчета, связанные с этими стержнями, что, однако, противоречит принципу относительности.

Это говорит о том, что лоренцево сокращение является также чисто кинематическим эффектом — в теле не возникает каких-либо напряжений, вызывающих деформацию.

Подчеркнем, что лоренцево сокращение тел в направлении их движения, равно как и замедление времени, представляет собой реальный и объективный факт, отнюдь не связанный с какими-либо иллюзиями наблюдателя. Все значения размеров данного тела или промежутков времени, полученные в разных системах отсчета, являются равноправными (все они «правильные»). Трудность понимания этих утверждений связана исключительно с нашей привычкой, основанной на повседневном опыте, считать понятия длины и промежутков времени абсолютными понятиями, когда в действительности это не так. Понятия длины и промежутка времени столь же относительны, как понятия движения и покоя.

§ 7.4. Преобразования Лоренца

Теперь нам предстоит решить фундаментальный вопрос о формулах преобразования координат и времени (имеются в виду формулы, связывающие координаты и моменты времени одного и того же события в разных инерциальных системах отсчета).

Преобразования Галилея? Напомним, что эти преобразования основаны на предположениях, что длина тел не зависит от движения и время течет одинаково в различных инерциальных системах отсчета. Однако в предыдущем параграфе было показано, что в действительности это не так: течение времени и длина тел зависят от системы отсчета — выводы, являющиеся неизбежным следствием постулатов Эйнштейна. Поэтому мы вынуждены отказаться от преобразований Галилея, или, говоря точнее, признать, что они — лишь частный случай каких-то более общих преобразований.

Возникает задача отыскания таких формул преобразования, которые, во-первых, учитывали бы замедление времени и лоренцево сокращение (т. е. были бы в конечном счете следствиями постулатов Эйнштейна), и, во-вторых, переходили бы в предельном случае малых скоростей в преобразования Галилея. Перейдем к решению этой задачи.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета K и K . Пусть K -система движется относительно K-системы со скоростью V. Направим координатные оси обеих систем отсчета так,

244 Глава 7

как показано на рис. 7.11: оси Х и X совпадают и направлены параллельно вектору V, а оси Y и Y параллельны

друг другу. Установим в разных точ-

ках обеих систем отсчета одинаковые

часы и синхронизируем их — отдельно часы K-системы и отдельно часы K -системы. И наконец, возьмем за

начало отсчета времени в обеих системах момент, когда начала координат О и O совпадают (t t 0).

Предположим теперь, что в момент времени t (в K-системе) в точке с координатами х, y произошло некоторое событие А, например вспыхнула лампочка. Наша задача — найти координаты x , y и момент времени t этого события в K -системе.

Вопрос относительно координаты y был уже решен в начале предыдущего параграфа, где было показано [см. формулу (7.3)], что y y. Поэтому сразу перейдем к нахождению координаты x события. Координата x характеризует собственную длину отрезка O P, неподвижного в K -системе (рис. 7.11). Длина же этого отрезка в K-системе, где отсчет производится в момент t, равна х – Vt. Связь между этими длинами дается

С другой стороны, координата х характеризует собственную длину отрезка ОP, неподвижного в K-системе. Длина же этого отрезка в K -системе, где измерение проводится в момент t , равна x Vt . Учитывая опять (7.5), получим x Vt x1 2 , откуда

Полученные формулы позволяют также установить и связь между моментами времени t и t события А в обеих системах отсчета. Для этого достаточно исключить из (7.6) и (7.6 ) x или х, после чего найдем:

t (t xV/c 2 )/1 2 ; t (t x V/c 2 )/1 2 . (7.7)

Формулы (7.3), (7.6), (7.6 ) и (7.7) называют преобразованиями Лоренца. Они играют фундаментальную роль в теории относительности. По этим формулам осуществляется преобразование координат и времени любого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Итак, преобразования Лоренца при переходе от K- к K -сис- теме имеют вид:

где V/c, V — скорость K -системы относительно K-системы. Следует сразу же обратить внимание на симметрию (одинаковый вид) формул (7.8) и (7.9), что является следствием полного равноправия обеих систем отсчета (различный знак при V в этих формулах обусловлен лишь противоположным направ-

лением движения систем K и K относительно друг друга). Преобразования Лоренца сильно отличаются от преобразова-

ний Галилея (7.1), однако последние могут быть получены из (7.8) и (7.9), если в них формально положить c %. Что это значит?

В конце предыдущего параграфа было отмечено, что в основе преобразований Галилея лежит допущение о синхронизации часов с помощью мгновенно распространяющихся сигналов. Из этого обстоятельства вытекает, что величина с в преобразованиях Лоренца играет роль скорости тех сигналов, которые используют для синхронизации часов. Если эта скорость бесконечно велика, то получаются преобразования Галилея; если же она равна скорости света, то — преобразования Лоренца. Таким образом, в основе преобразований Лоренца лежит допущение о

синхронизации часов с помощью световых сигналов, имеющих предельную скорость.

Замечательной особенностью преобразований Лоренца является то, что при V c они переходят* в преобразования Галилея (7.1). Таким образом, в предельном случае V c законы преобразования теории относительности и ньютоновской механики совпадают. Это означает, что теория относительности не отвергает преобразований Галилея как неправильные, но включает их в истинные законы преобразования как частный случай, справедливый при V c. В дальнейшем мы увидим, что это отражает общую взаимосвязь между теорией относительности и ньютоновской механикой — законы и соотношения теории относительности переходят в законы ньютоновской механики в предельном случае малых скоростей.

Далее, из преобразований Лоренца видно, что при V > c подкоренные выражения становятся отрицательными и формулы теряют физический смысл. Это соответствует тому факту, что движение тел со скоростью, большей скорости света в вакууме, невозможно. Нельзя даже пользоваться системой отсчета, движущейся со скоростью V = с; при этом подкоренные выражения обращаются в нуль и формулы также теряют физический смысл. Это значит, что, например, с фотоном, движущимся со скоростью с, принципиально не может быть связана система отсчета. Или иначе: не существует такой системы отсчета,

вкоторой фотон был бы неподвижным.

Инаконец, необходимо обратить внимание на то, что в формулы преобразования времени входит пространственная координата. Это важное обстоятельство указывает на неразрывную связь между пространством и временем. Другими словами, речь должна идти не отдельно о пространстве и времени, а о едином пространстве — времени, в котором протекают все физические явления.

*Строго говоря, необходимо еще, чтобы x/c t, т. е. чтобы времена распространения световых сигналов на расстояния, фигурирующие в рассматриваемых задачах (х/c), были малы по сравнению с интересующими нас промежутками времени. При этом условии можно считать, что сигналы распространяются практически мгновенно.

§ 7.5. Следствия из преобразований Лоренца

Понятие одновременности

Пусть в K-системе отсчета происходят два каких-то собы-

тия: A1 (x1 , y1 , t1 ) и A2 (x2 , y2 , t2 ). Найдем интервал времени между этими событиями в K -системе, движущейся со скоро-

стью V вдоль оси Х, как показано на рис. 7.11. Согласно формуле преобразования времени (7.8), искомый интервал времени

Отсюда следует, что события, одновременные в K-системе (t2 = t1), не одновременны в K -системе (t2 t1 0). Исключением является случай, когда оба события происходят в K-сис- теме одновременно в точках с одинаковыми значениями координаты х (координата y может быть различной).

Итак, одновременность — понятие относительное: то, что одновременно в одной системе отсчета, в общем случае не одновременно в другой системе отсчета. Говоря об одновременности событий, необходимо указывать систему отсчета, относительно которой эта одновременность имеет место. В противном случае понятие одновременности теряет смысл и могут возникнуть разного рода недоразумения и «парадоксы».

Пример. «Парадокс» стержня и трубки. Сквозь неподвижную в K-сис-

трубку, целиком в ней уместится. Однако «с точки зрения стержня» лоренцево сокращение вдвое претерпевает трубка (рис. 7.12, б), поэтому стержень (длины 2l0) не поместится в трубке (длины l0/2). Есть ли здесь противоречие?

Противоречия нет, и вот почему. «С точки зрения трубки» концы пролетающего стержня совместятся с концами трубки одновременно. «С точки же зрения стержня» совпадения концов (А с A , В с B ) произойдут не одновременно: сначала совпадут концы В и B (рис. 7.12, б), а затем, через некоторый промежуток времени, концы А и A .

Из относительности понятия одновременности следует, что часы K -системы, расставленные вдоль оси X и синхронизированные между собой в этой системе отсчета, в K-системе будут показывать разное время. В самом деле, возьмем для простоты момент, когда начала координат О и O обеих систем отсчета совпадают и часы в этих точках показывают одно время: t t 0. Тогда в K-системе в точке с координатой х часы K-си- стемы показывают в этот момент время t = 0, часы же K -систе- мы в этой точке — иное время, t . Действительно, согласно формуле преобразования времени (7.8),

t xV/c 2 1 2 .

Отсюда видно, что в момент t = 0 (в K-системе) часы K -системы будут показывать разное время, зависящее от координаты х (местное время).

Это показано на рис. 7.13, а. Относи-

тельно K -системы картина будет об-

ратной (рис. 7.13, б), как и должно быть в соответствии с равноправием обеих инерциальных систем отсчета.

Из формулы (7.10) видно, что для одновременных в K-систе- ме событий знак разности t2 t1 определяется знаком выражения (x2 x1 )V. Следовательно, в разных системах отсчета (при разных значениях скорости V) разность t2 t1 будет различной не только по модулю, но и по знаку. Последнее означает, что порядок событий А1 и А2 может быть любым (как прямым, так и обратным).

Сказанное, однако, не относится к причинно-связанным событиям. Порядок следования таких событий (причина следствие) будет одинаков во всех системах отсчета. В этом легко убедиться из следующего рассуждения. Рассмотрим, например,

выстрел — событие А1(х1, t1) и попадание пули в мишень — событие А2(х2, t2), предполагая, что оба события происходят на оси Х. В K-системе отсчета t2 > t1 скорость пули v и пусть для определенности x2 > x1, причем ясно, что x2 x1 v (t2 t1 ). После подстановки этого равенства в формулу (7.10) получим

Величина, стоящая во второй круглой скобке числителя, всегда положительна в связи с тем, что V < c (даже при v = c , когда причинно-следственная связь обусловлена максимально возможной скоростью передачи сигналов или взаимодействий). Отсюда следует, что если t2 t1 , то и t2 t1 , т. е. порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

Лоренцево сокращение

Расположим неподвижный в K -системе стержень вдоль оси X , т. е. вдоль направления движения этой системы отсчета от-

В K-системе, относительно которой стержень движется, его длину определяют как расстояние l между координатами х2 и х1 его концов, взятыми в один и тот же момент (t2 = t1). Воспользовавшись преоборазованиями Лоренца (7.8) для координат x и х, запишем

Таким образом, длина l движущегося стержня оказывается меньше его собственной длины l0, и в разных инерциальных системах отсчета она будет иметь свое значение. Этот результат полностью согласуется с полученным ранее (7.5).