Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т1 Механика. Основные законы_2014, 12-е изд, 309с

З а м е ч а н и е. Следует обратить внимание на одну часто встречающуюся ошибку при решении подобного рода задач. Рассуждают так: в начальном положении потенциальная энергия каждой частицы в поле других двух равна 2kq 2/a , а в конечном — нуль. Отсюда искомая работа A 1 2kq 2/a . Как видно, полученный результат отличается вдвое от (*). Почему?

Ошибка здесь в том, что поле, в котором перемещается каждая частица, нестационарное (ведь другие две частицы тоже перемещаются друг относительно друга), поэтому работа сил такого поля не может быть представлена как убыль потенциальной энергии частицы в поле.

4.10. На гладкой горизонтальной плоскости находятся два бруска с массами m1 и m2, соединенные между собой пружинкой жесткости k (рис. 4.27). Брусок 2 переместили

влево на небольшое расстояние x и отпустили. Найти скорость vc центра масс системы после отрыва бруска 1 от стенки.

Рис. 4.27

Р е ш е н и е. При распрямлении пружинки на систему будет действовать некоторая горизонтальная сила F со стороны стенки. Импульс этой силы приводит к возникновению импульса системы. После отрыва бруска 1 от стенки импульс системы меняться не будет, и мы можем записать:

где учтено, что в момент отрыва бруска 1 его скорость v10 = 0.

Поскольку точка приложения силы F неподвижна (в процессе ее действия), эта сила работы не совершает. Значит, механическая энергия системы в процессе движения будет оставаться неизменной и равной своей первоначальной величине. В момент отрыва бруска 1 потенциальная энергия первоначально сжатой пружины целиком переходит в кинетическую энергию бруска 2:

Исключив v20 из равенств (1) и (2), получим vc xkm2 /(m1 m2 ).

Заметим, что нечто подобное происходит при начале движения, например, автомашины: импульс сил трения сообщает импульс автомашине, а внутренний источник энергии (топливо) — кинетическую энергию.

4.11.Внутренняя механическая энергия системы. Система состоит из

двух шариков с массами m1 и m2, которые соединены между собой невесомой пружинкой. Шарикам сообщили скорости v1 и v2 соответственно, после чего система начала двигаться в однород-

ном поле сил тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воз-

духа и считая, что в начальный момент пружинка не деформирована и v1 v2 , найти внутреннюю механическую энергию данной системы в процессе движения.

Р е ш е н и е. Внутренняя механическая энергия системы — это

~

ее энергия E в Ц-системе. Здесь Ц-система движется с ускорением g, поэтому в этой системе отсчета на каждый шарик действуют две внешние силы: сила тяжести mig и сила инерции –mig. Суммарная работа этих внешних сил равна нулю (в Ц-системе),

~

а следовательно, энергия E изменяться не будет. Чтобы ее найти, достаточно рассмотреть начальный момент, когда пружинка

~

еще не деформирована и энергия E равна только суммарной ки-

~

нетической энергии K0 в Ц-системе. Воспользовавшись формулой (4.61), получим

4.12.Столкновение частиц. В K-системе отсчета частица 1 массы m1 налетает на покоящуюся частицу 2 массы m2. Заряд каждой частицы равен q. Найти минимальное расстояние, на которое они

сблизятся при лобовом «соударении», если кинетическая энергия частицы 1 вдали от частицы 2 равна K1.

Р е ш е н и е. Рассмотрим процесс столкновения отдельно в K- и Ц-системах отсчета.

1. В K-системе в момент наибольшего сближения обе частицы будут двигаться как единое целое со скоростью v, которую можно определить из закона сохранения импульса:

p1 (m1 m2 )v,

где p1 — импульс налетающей частицы: p1 2m1 K1 . Из закона сохранения энергии следует, что

K1 (m1 m2 )v 2/2 U,

где приращение потенциальной энергии системы U kq 2/rмин . Исключив v из этих двух уравнений, найдем

rмин (1 m1 /m2 )kq 2/K1 .

2. В Ц-системе решение наиболее просто: здесь суммарная кинетическая энергия частиц идет целиком на приращение потенциальной энергии системы частиц в момент их наибольшего сближения:

Отсюда легко найти rмин.

4.13. Частица массы m1 с импульсом p1 испытала упругое столкнове-

столкновения. Преобразуем это равенство с помощью соотношения K p 2 /2m к виду

Если m1 < m2, то физический смысл имеет только знак плюс перед корнем. Это следует из того, что при этом условии корень бу-

дет больше, чем cos , а так как p — это модуль вектора, то он

1

не может быть отрицательным.

Если m1 > m2, то физический смысл имеют оба знака перед корнем — ответ в этом случае неоднозначен: под углом импульс рассеянной частицы может иметь одно из двух значений (это зависит от относительного расположения частиц в момент соударения). Последний случай соответствует векторной диаграмме, показанной на рис. 4.14, в.

4.14.Какую часть своей кинетической энергии теряет частица мас-

сы m1 при упругом рассеянии под предельным углом на покоящейся частице массы m2? Здесь m1 > m2.

После подстановки (2) в (1) получим

2m2 /(m1 m2 ).

4.15. Атом массы m1 испытал неупругое столкновение с покоившейся молекулой массы m2. После соударения обе частицы разлетелись

под углом друг к другу с кинетическими энергиями K и K

1 2

соответственно, причем молекула оказалась в возбужденном состоянии — ее внутренняя энергия увеличилась на определенную величину Q. Найти Q, а также пороговую кинетическую энергию атома, при которой возможен переход молекулы в данное возбужденное состояние.

Р е ш е н и е. Из законов сохранения энергии и импульса в этом процессе следует:

где штрихами отмечены величины после соударения (второе соотношение сразу следует из треугольника импульсов согласно

4.16.Распад частицы. Частица с импульсом p0 (в K-системе) распалась на лету на две частицы с массами m1 и m2. При этом выделилась энергия Q — энергия распада (она перешла в кинетиче-

скую энергию). Построить векторную диаграмму импульсов для

этого процесса и найти с помощью нее возможные импульсы p1 и p2 возникших частиц.

Р е ш е н и е. Наиболее просто этот процесс выглядит в Ц-систе- ме: здесь распадающаяся частица покоится, а частицы распада разлетаются в противоположные стороны с одинаковыми по мо-

где 2 — приведенная масса системы возникших частиц.

Найдем импульсы возникших частиц в K-системе. Воспользовавшись формулой преобразования скоростей при переходе от Ц- к K-системе, запишем:

(рис. 4.30). Изобразим сначала отре-

зок АВ, равный импульсу p0. Затем

Рис. 4.30

делит отрезок АВ на две части в отношении m1 : m2. Эта окружность и есть геометрическое место точек всех возможных положений вершины С треугольника импульсов АВС.

4.17.Открытый сверху цилиндрический сосуд высотой h заполнен до-

верху идеальной жидкостью. В дне сосуда открыли малое отверстие, площадь которого в раз меньше площади сечения сосуда. Считая J 1, найти, через какое время вся жидкость вытечет из

сосуда.

Р е ш е н и е. Скорость v1, с которой будет опускаться уровень жидкости в сосуде, не постоянна. Поэтому сначала найдем время

dt, за которое убыль высоты уровня равна – dx:

Теперь найдем связь между v1 и высотой уровня x. Для этого воспользуемся уравнением неразрывности струи (4.71) и уравнением Бернулли (4.75). Запишем последнее для двух сечений: 1 — когда уровень находится на высоте x, и 2 — на выходе из отверстия. Тогда оба уравнения будут иметь вид

Здесь учтено, что давление p в обоих сечениях одинаково (атмосферное). Из уравнений (2), имея в виду, что J 1, получим

Подставив (3) в (1) и проинегрировав, найдем

0

t dx 2h/g . h 2gx

4.18. Вязкость. Вычислить силу трения, испытываемую прямой трубой длины l = 100 м с радиусом круглого сечения R = 25 см при стационарном течении воды, поток которой Q = 5,0 м3/с. Вязкость воды = 1,0 мПа,с.

Р е ш е н и е. Искомую силу трения найдем с помощью формулы (4.78). Для этого надо сначала вычислить производную dv/dr выражения (4.81) при r = R. В результате получим

§ 5.1. Момент импульса частицы. Момент силы

Анализ поведения систем показывает, что кроме энергии и импульса существует еще одна механическая величина, с которой также связан закон сохранения, — это момент импульса*. Что это за величина и каковы ее свойства?

Сначала возьмем одну частицу. Пусть r — радиус-вектор, характеризующий ее положение относительно некоторой точки О выбранной

системы отсчета, а p — ее импульс в этой системе.

Из этого определения следует, что M является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что вращение вокруг точки О в направлении вектора p и вектор M образуют правовинтовую систему. Модуль вектора M равен

где — угол между r и p, l = r sin — плечо вектора p относительно точки О (рис. 5.1).

Уравнение моментов

Выясним, какая механическая величина ответственна за изменение вектора M в данной системе отсчета. Для этого продифференцируем (5.1) по времени:

dM/dt [dr/dt, p] [r,dp/dt] .

*Используют также названия момент количества движения, механический момент, угловой момент или просто момент.

Так как точка О неподвижна, то вектор dr/dt равен скорости v частицы, т. е. совпадает по направлению с вектором p, поэтому

[dr/dt, p] 0.

Согласно второму закону Ньютона, dp/dt = F, где F — равнодействующая всех сил, приложенных к частице. Следовательно,

Вектор N, как и M, является аксиальным. Модуль этого вектора, аналогично (5.2), равен

где l — плечо вектора F относительно точки О (рис. 5.2). Итак, производная по времени от момента импульса M час-

тицы относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета равна моменту N равнодействующей силы F относительно той же точки О:

Это уравнение моментов. Заметим, что если система отсчета является неинерциальной, то момент силы N включает в себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инерции (относительно той же точки О).

Из уравнения моментов (5.5), в частности, следует, что если N 0, то M = const. Другими словами, если относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета момент всех сил, действующих на частицу, равен нулю в течение интересующего нас промежутка времени, то относительно этой точки момент импульса частицы остается постоянным в течение этого времени.

Пример 1. Некоторая планета А движется в поле тяготения Солнца С (рис. 5.3). Относительно какой точки гелиоцентрической системы отсчета момент импульса данной планеты будет сохраняться во времени?

Для ответа на этот вопрос прежде всего необходимо установить, какие силы действуют на планету А. В данном случае это только сила тяготения F со стороны Солнца.

Так как при движении планеты направление этой силы все время проходит через центр Солнца, то последний и является той точкой,

относительно которой момент силы F все время равен нулю, и момент импульса планеты будет оставаться постоянным. Импульс p планеты при этом будет меняться.

Пример 2. Шайба А, двигаясь по гладкой горизонтальной плоскости, упруго отскакивает от гладкой вертикальной стенки (рис. 5.4, вид сверху). Найдем точку, относительно которой момент импульса шайбы будет оставаться постоянным в этом процессе.

На шайбу действуют сила тяжести, сила реакции со стороны горизонтальной плоскости и сила реакции R со стороны стенки в момент удара о нее. Первые две силы уравновешивают друг друга, остается сила R. Ее момент равен нулю относительно любой точки, лежащей на линии действия вектора R, а значит, отно-

сительно любой из этих точек момент импульса шайбы будет оставаться постоянным в данном процессе.

Пример 3. На горизонтальной гладкой плоскости находятся неподвижный верти-

кальный цилиндр и шайба А, соединенная с цилиндром горизонтальной нитью АВ (рис. 5.5, вид сверху). Шайбе сообщили начальную ско-

рость v, как показано на рисунке.

Есть ли здесь точка, относительно которой момент импульса шайбы будет оставаться постоянным в процессе движения?