Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т1 Механика. Основные законы_2014, 12-е изд, 309с

§ 6.1. Гармонические колебания

Кинематика гармонических колебаний

Гармоническими называют колебания, в которых интересующая нас величина х (например, линейное или угловое смещение из положения равновесия) изменяется со временем t по закону

где а — амплитуда, ( 0 t ) — фаза, — начальная фаза,0 — циклическая (круговая) частота колебаний. Эта частота связана с периодом Т и линейной частотой как

Обратим внимание на различие наименований циклической

илинейной частот: , c 1 , а , Гц (герц). Продифференцировав (6.1) по времени, найдем скорость x и

Из этих выражений видно, что скорость x и ускорение x также изменяются по гармоническому закону с амплитудами a 0 и a 20 соответственно. При этом скорость опережает смещение х по фазе на /2, а ускорение — на , т. е. находится в противофазе со смещением х. На рис. 6.1 приведены графики зависимостей x (t), x(t) и x(t) для случая 0.

Сопоставив (6.4) и (6.1), видим, что x 20 x , или

Из (6.7) следует, что в данном случае tg > 0. Значит, может находиться в первом или третьем квадрантах, т. е. в интервалах (0, /2) или ( , /2). Сопоставив это со знаками cos и sin из (6.6), приходим к выводу, что возможен только второй интервал ( , /2).

Динамика гармонических колебаний

Для определения характера движения механической системы нужно, исходя из законов динамики или закона сохранения энергии, составить уравнение движения системы, и если оно приводится к виду (6.5), то можно однозначно утверждать, что данная система является гармоническим осциллятором, частота 0 которого равна корню квадратному из коэффициента при х. Рассмотрим несколько примеров и затем обобщим полученные результаты.

Грузик на пружине. Пусть грузик массы m, подвешенный на

невесомой пружине жесткости k, совершает вер-

тикальные колебания (рис. 6.3). Возьмем нача-

ло О оси Х в положении равновесия, где mg k l, l — растяжение пружины в этом положении. Тогда, согласно основному уравнению динамики, mx mg – k (x + l) –kx, или

x (k/m)x 0.

Из сопоставления с (6.5) видим, что это урав- Рис. 6.3 нение гармонического осциллятора, колеблющегося около положения равновесия с частотой 0 и периодом

Т, равными

Математический маятник. Материальная точка массы m, подвешенная на нерастяжимой нити длиной l, совершает колебания в вертикальной плоскости (рис. 6.4). Здесь удобнее всего использовать уравнение динамики (2.16) в проекции на орт t, направление которого совпадает с положительным направлением отсчета дуговой координаты s (величина алгебраическая, на рисунке изображен момент, когда s > 0). Начало отсчета s возьмем в положении равновесия — в точке О.

(g/l) sin 0.

Физический маятник. Это твердое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной оси, жестко свя- занной с телом. Рассмотрим колебания под действием силы тяжести (рис. 6.5). Выберем положительное направление отсчета угла

против часовой стрелки (ось Z направлена к нам). Тогда проекция момента силы тяжести на ось Z запишется как M z mgl sin и уравнение динамики вращательного движения твердого тела (5.30) примет вид

где I — момент инерции тела относительно оси О, l — расстояние между осью О и центром масс С. Ограничимся рассмотрением малых колебаний, при которых sin 6 . При этом условии предыдущее уравнение можно записать так:

(mgl/ I) 0.

Такую же частоту и период имеет математический маятник

которую называют приведенной длиной физического маятника. Точку O (рис. 6.5), которая находится на прямой, проходящей через точку подвеса О и центр масс С, и отстоит от точки О на расстоянии lпр, называют центром качания физического маятника. Центр качания O обладает замечательным свойством: если маятник перевернуть и заставить совершать малые колебания вокруг оси O , то период колебаний не изменится. На этом свойстве основано определение ускорения свободного падения с помощью оборотного маятника: экспериментально устанавливают положения двух «сопряженных» точек (осей) О и O , малые колебания вокруг которых происходят с одинаковой частотой. Это значит, что расстояние OO l пр . Определив

0 и lпр, из формулы 0 g/l пр находим g.

Общие выводы. Рассмотренные примеры относятся к свободным колебаниям без трения, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была тем или иным способом выведена из состояния равновесия. Можно утверждать, что свободные колебания любого осциллятора в отсутствие трения будут гармоническими, если действующая в нем сила (или момент силы) является квазиупругой, т. е. силой, направленной к положению равновесия и зависящей от смещения из этого положения линейно.

Именно квазиупругий характер силы (или момента силы) служит и критерием малых колебаний.

Кроме того, частота и период свободных колебаний без трения зависят только от свойств самого осциллятора в отличие от амплитуды колебаний и начальной фазы, которые определяются начальными условиями.

Рассмотрим еще один пример на малые колебания.

Пример. Частица массы m совершает колебания в силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты х как U U0 (1 cos x ) , где U0 и — постоянные. Найдем частоту 0 малых колебаний частицы около положения равновесия x 0.

Согласно основному уравнению динамики,

mx Fx 3U/3x U0 sin x.

Так как колебания малые, то sin x 6 x и предыдущее уравнение можно привести к виду

x ( 2 U0 /m )x 0.

Отсюда следует, что 0 U0 /m .

Энергия гармонического осциллятора. Рассмотрим этот вопрос на примере материальной точки массы m, колеблющейся под действием квазиупругой силы Fx –kx. Потенциальная и кинетическая энергии частицы имеют в данном случае такой вид:

U kx2 /2 (ka2 /2) cos2 ( 0 t ),

(6.12)

K mx2/2 (ma2 20 /2) sin2 ( 0 t ).

Из этих соотношений видно, что значения U и K сдвинуты друг относительно друга по фазе на /2: когда U максимальна, K минимальна, и наоборот. При этом полная энергия сохраняется:

где учтено, что 20 k/m. Принимая во внимание (6.13), формулы (6.12) можно переписать так:

Графики зависимостей U(t) и K(t) даны на рис. 6.6. Из рисунка видно, что в процессе колебаний происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Это иллюстрирует и рис. 6.7.

Средние (за период колебания) значения потенциальной и кинетической энергий одинаковы, и каждое из них равно E/2:

поскольку известно*, что средние (за период) значения квадратов синуса и косинуса равны 1/2.

Отметим в заключение, что, согласно (6.13), энергия колебаний осциллятора E T a2. Это весьма существенный факт, и его неоднократно придется учитывать в дальнейшем.

Энергия и уравнение движения

Уравнение движения колебательной системы можно получить не только из уравнений динамики, но и из закона сохранения энергии E (иногда это бывает удобнее). Для этого нужно составить выражение для энергии E, продифференцировать его по времени и потребовать, чтобы dE/dt = 0, поскольку E = const. Это и приведет к искомому уравнению.

Важно отметить, что колебательная система будет гармоническим осциллятором лишь при условии U T x2, т. е. когда потенциальная энергия пропорциональна квадрату смещения из положения равновесия. Это условие, кстати, является и «энергетическим» критерием малых колебаний.

* Это сразу следует из тождества sin 2 cos 2 1, усредняя которое в пределах периода 2 получим psin2 q + pcos2 q 1. Так как разница между sin и

cos заключается только в сдвиге фаз на /2, мы находим, что psin2 q pcos2 q 1/2.

смещение из положения равновесия, и — положительные постоянные. Убедимся, что условие E U K const приводит к уравнению гармонического осциллятора.

Продифференцировав E по времени, получим

dE/dt 2 xx 2 xx 0 .

Отсюда следует, что x ( / )x 0. Это и есть уравнение гармонического осциллятора с частотой 0 / .

§ 6.2. Сложение гармонических колебаний

Сложение колебаний одного направления

Векторная диаграмма. Решение ряда вопросов значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически с помощью вектора-амп- литуды а, вращающегося с угловой скоростью против часовой стрелки. Если в мо-

мент t = 0 вектор а образует с осью Х угол

(рис. 6.8), то проекция вектора а на ось Х изменяется со временем по гармоническому закону (6.1). Такой способ представ-

ления колебаний, называемый векторной диаграммой, удобно использовать при сложении колебаний одного направления.

Сложение колебаний. Рассмотрим два случая, когда частоты двух складываемых колебаний одинаковы или мало отличаются друг от друга.

1. Случай, когда 1 2 смещение

x x1 x2 a1 cos ( t 1 ) a2 cos ( t 2 ). (6.16)

Каждое из складываемых колебаний можно представить с помощью векторов а1 и а2, сумма проекций которых на ось Х равна проекции суммы векторов а1 + а2 = а (рис. 6.9). Поскольку векторы а1 и а2 вращаются с одной и той же угловой скоростью , с той же угловой скоростью вращается и вектор а. Значит результирующее колебание является тоже гармоническим и имеет вид