Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т1 Механика. Основные законы_2014, 12-е изд, 309с

Рис. 6.12

б) = , тогда y = –(b/а)х и частица движется тоже по прямой, но во втором и четвертом квадрантах (рис. 6.12, б);

в) = /2. В этом случае х2/а2+y2/b2 =1, т. е. частица движется по эллипсу, полуоси которого а и b совпадают с осями координат. При а = b эллипс превращается в окружность. Так как колебания вдоль оси Y происходят с опережением по фазе на /2 относительно колебаний по оси Х, то сначала y и лишь затем х достигают максимальных значений. Это значит, что движение частицы будет происходить по часовой стрелке (рис. 6.12, в);

г) = 3 /2. Это то же, что и = – /2, поскольку изменение фазы на 2 несущественно (рис. 6.12, г).

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы и относятся как целые числа, то траектории результирующего движения имеют более сложные формы. Их называют фигура-

ми Лиссажу. Одна из этих фигур показана на рис. 6.13, она соответствует отношению частот y : x 3 : 2.

т. е. складывается из энергий каждого колебания (в отличие от сложения колебаний одного направления). Согласно (6.13), эта энергия

§ 6.3. Затухающие колебания

Уравнение затухающих колебаний

В любой реальной колебательной системе есть силы сопротивления (трения), действие которых приводит к уменьшению амплитуды и энергии колебаний. Такие свободные колебания называют затухающими.

Будем исходить из основного уравнения динамики, полагая, что на частицу массы m действует кроме квазиупругой силы (–kx) сила сопротивления, пропорциональная скорости частицы, Fx rx, где r — коэффициент сопротивления (величина размерная). Тогда уравнение движения будет иметь вид

где 2 r/m, 20 k/m. Отметим, что 0 — это частота свободных колебаний без трения. Частоту 0 называют собственной частотой осциллятора, а — коэффициентом затухания.

Уравнение (6.27) при условии 0 описывает затухающие колебания. Его решение имеет вид

где а0 и — постоянные, определяемые начальными условиями x (0) = x0 и x (0) x0 , — частота затухающих колебаний:

.График функции (6.28) показан на рис. 6.14 для случая x0 0

иx0 0. Видно, что эта функция не периодическая. Тем не менее величину T = 2 / принято называть периодом затухающих

колебаний:

Множитель a a 0 e t перед косинусом в (6.28) называют

амплитудой затухающих колебаний (пунктир на рис. 6.14).

Энергия затухающих колебаний

Эта энергия складывается из потенциальной и кинетической: E kx2/2 mx2 /2. После подстановки сюда выражений х (t) и x (t), соответствующих затухающими колебаниям (6.28), получим зависимость E(t), которая графически показана на рис. 6.15. Уменьшение энергии колебаний обусловлено работой силы сопротивления. Мощность этой силы равна rx , x rx2 , тогда

dE/dt rx2 .

Таким образом, dE/dt 0, кроме тех моментов, когда x 0. При малом затухании ( 0) зависимость E(t) становится

практически экспоненциальной:

Характеристики затухания

Кроме коэффициента затухание характеризуют и другими величинами:

1. Время релаксации — это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Из выражения a a 0 e t видно, что

2. Логарифмический декремент затухания. Его определяют как

веденная из положения равновесия, она возвращается в это положение, не совершая колебаний.

§ 6.4. Вынужденные колебания

Уравнение вынужденных колебаний

Свободные колебания реальной колебательной системы являются, как мы выяснили, затухающими. Чтобы возбудить в такой системе незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии, обусловленные силами сопротивления (трения). Это можно осуществить, воздействуя на систему переменной внешней силой F, изменяющейся — в простейшем и практически наиболее важном случае — по гармоническому закону Fx Fm cos t. Возникающие при этом колебания и называют вынужденными.

Теперь на колеблющуюся частицу будут действовать одновременно три силы: квазиупругая (–kx), сила сопротивления ( rx) и внешняя, вынуждающая (Fx). Согласно основному уравнению динамики,

Опыт показывает, что по истечении некоторого времени (с момента начала действия вынуждающей силы) в системе устанавливаются гармонические колебания* с частотой вынуждаю-

*Решение уравнения (6.40), как доказывается в математике, представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (когда правая часть равна

нулю) и частного решения неоднородного:t cos ( t ) a cos ( t ).x a 0 e

Нас будет интересовать только частное решение, соответствующее установившимся колебаниям. Общее решение однородного уравнения описывает затухающие колебания, которые по истечении некоторого времени практически исчезают.

Наша задача — определить постоянные а и . Для этого продифференцируем (6.41) дважды по времени:

(6.40). Сумма трех гармонических функций в левой части

(6.40) должна быть равной функ-

Из этой диаграммы видно, что отставание смещения по фазе

Формулы (6.43) и (6.44) показывают, что амплитуда а колебаний и отставание смещения по фазе на от вынуждающей силы определяются свойствами самого осциллятора ( 0 , ) и вынуждающей силы (fm, ), но не начальными условиями.

Резонанс

На рис. 6.17 приведены графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы а( ) для трех коэффициентов затухания. Видно, что а( ) имеет максимум при частоте, которую легко найти из условия da/d 0 (до-

хания . Важным параметром резонансной кривой pP( )q, характеризующим «остроту» резонанса, является ее ширина на половине «высоты». Можно показать, что при малом затухании ( 0) «острота» резонанса, т. е. отношение 0 / , равно добротности осциллятора:

Энергия вынужденных колебаний

Интересно проследить, как зависит энергия E осциллятора, совершающего установившиеся колебания, от времени. Так как E = U + K, то

же вынуждающей силы в каждый момент будет равна модулю мощности сил сопротивления только в случае 0 . В противном случае эти мощности будут равны по модулю только в среднем за период.

Пример. Найдем среднюю за период мощность pPq вынуждающей силы, необходимую для поддержания среднего значения кинетической энергии на уровне pKq у осциллятора с коэффициентом затухания .

Согласно закону сохранения энергии, pPq должно быть равно модулю среднего значения мощности силы сопротивления:

pPq |p r x , xq| prx 2 q.

Так как x 2 2K /m, то r x 2 2(r /m )K 4 K и pPq 4 pKq.

Задачи

6.1.Свободные колебания без трения. Идеальная жидкость объемом V

налита в U-образную трубку (рис. 6.21) с площадью поперечного

6.2. Крутильные колебания. Горизонтальный диск с моментом инер-

энергия колебаний (E = U + K) здесь будет сохраняться. Значит, энергия в начальный момент будет равна энергии при максимальном отклонении из положения равновесия:

D 20 /2 I 20 /2 D 2m /2.

Отсюда m 20 ( I /D ) 20 .

Заметим, что выражение для потенциальной энергии (U D 2 /2)

следует из ее определения, а именно: убыль величины U равна работе упругой силы (в данном случае ее момента):

U(0) U( ) M z d.

0

В положении равновесия ( = 0) полагаем U(0) = 0.

6.3.Физический маятник. На каком расстоянии х от центра С надо подвесить тонкий однородный стержень длины l, чтобы период его малых колебаний был наименьшим?

Р е ш е н и е. Согласно (6.10), период колебаний физического маятника T 2 I /mgx , где I — момент инерции стержня относи-

С. Подставив это выражение в формулу для Т, получим

T 2 (l /12x x/l ) l /g .

Период Т будет наименьшим при условии dT/dх = 0 (или при равенстве нулю производной от подкоренного выражения):

l /12x 2 1/l 0,

откуда x l /12.

6.4.Однородный стержень положили на два быстро вращающихся блока (рис. 6.23). Известны расстоя-

ние l между осями блоков и коэффициент трения k между стержнем и блоками. Показать, что стержень будет совершать гармонические колебания. Найти их период.

Рис. 6.23

Р е ш е н и е. Согласно основному уравнению динамики,