Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т1 Механика. Основные законы_2014, 12-е изд, 309с

Из формулы (5.18) видно, что если F = 0, то суммарный момент внешних сил не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Таков, в частности, случай, когда к системе приложена пара сил.

Пример. К телу в точках 1 и 2 приложены две одинаковые по модулю и противоположно направленные силы F1 и F2, не действующие вдоль одной прямой (пара сил). Пусть r12 — радиус-век- тор, проведенный из точки 1 в точку 2. Найдем суммарный момент N этой пары сил.

Здесь результирующая сила F = F1 + F2 = 0, поэтому согласно (5.18) момент N этой пары сил не должен зависеть от выбора точки О, относительно которой его определяют. Воспользовавшись этим, выберем в качестве точки О точку 1 (относительно нее момент силы F1 равен нулю), тогда

N [ r12 F2 ].

Модуль вектора N равен, как нетрудно сообразить, N = lF, где l — плечо пары, т. е. расстояние между прямыми, вдоль которых действуют силы, а F — модуль каждой силы.

Интересной и важной особенностью в этом отношении обладает Ц-система (напомним, что эта система отсчета жестко связана с центром масс системы частиц и перемещается поступательно по отношению к инерциальным системам). Так как в общем случае Ц-система является неинерциальной, то результирующая всех внешних сил должна включать в себя кроме внешних сил взаимодействия Fвз и силы инерции Fин. С другой стороны, в Ц-системе система частиц как целое покоится, а это значит, согласно (3.11), что F = Fвз + Fин = 0. Имея в виду (5.18), мы приходим к следующему важному выводу: в

Ц-системе суммарный момент всех внешних сил, включая силы инерции, не зависит от выбора точки О.

И другой важный вывод: в Ц-системе суммарный момент сил инерции относительно центра масс всегда равен нулю:

В самом деле, сила инерции, действующая на каждую частицу системы, Fi m i a0 , где а0 — ускорение Ц-системы. Поэтому суммарный момент всех этих сил относительно центра масс С

NинC .[ri , m i a0 ] 8 .m i ri , a0 9.

Собственный момент импульса

Как и момент сил, момент импульса системы зависит, вообще говоря, от выбора точки О, относительно которой его определяют. При переносе этой точки на расстояние r0 (рис. 5.13) новые радиусы-векторы частиц ri связаны со старыми ri формулой ri ri r0 . Поэтому момент импульса системы относительно точки О можно представить так:

M .[ri pi ] .[ri pi ] .[r0 pi ] ,

или

где M — момент импульса системы относительно точки O , а p . pi — полный импульс системы.

Из формулы (5.20) следует, что если полный импульс системы p = 0, то ее момент импульса не зависит от выбора точки О. А этим как раз и отличается Ц-система, в которой система частиц как целое покоится. Отсюда мы приходим к третьему важному выводу: в Ц-системе момент импульса системы частиц не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют.

Этот момент называют собственным моментом импульса

~

системы и обозначают M.

~

Связь между M и M

Пусть M — момент импульса системы частиц относительно

точки О K-системы отсчета. Так как собственный момент им-

пульса ~ в Ц-системе не зависит от выбора точки O , возьмем

M

точку O совпадающей в данный момент с точкой О K-систе- мы. Тогда радиусы-векторы каждой частицы в обеих системах отсчета будут одинаковы в этот момент (ri ri ), скорости частиц связаны формулой

Первая сумма в правой части этого равенства есть собствен-

~

ный момент импульса M. Вторую сумму в соответствии с формулой (3.8) представим как m[rC VC ], или [rC p], где m — масса всей системы, rC — радиус-вектор ее центра масс в K-системе, p — суммарный импульс системы частиц. В результате

т. е. момент импульса M системы частиц складывается из ее

~

собственного момента импульса M и момента [rC p], обусловленного движением системы частиц как целого.

Возьмем, например, однородный шар, скатывающийся по наклонной плоскости. Его момент импульса относительно некоторой точки этой плоскости складывается из момента импульса, связанного с движением центра масс шара, и собственного момента импульса, обусловленного вращением шара вокруг собстенной оси.

Из формулы (5.23), в частности, следует, что если центр масс системы покоится (импульс системы p = 0), то ее момент

импульса M — это собственный момент импульса. С этим слу-

чаем мы уже знакомы. В другом крайнем случае, когда ~ 0,

M

момент импульса системы относительно некоторой точки определяется только моментом, связанным с движением системы как целого, т. е. вторым слагаемым (5.23). Так, например, ведет себя момент импульса любого твердого тела, совершающего поступательное движение.

Уравнение моментов в Ц-системе

В § 5.2 было отмечено, что уравнение (5.12) справедливо в

входит помимо моментов внешних сил взаимодействия и мо-

мент сил инерции. С другой стороны, в начале этого параграфа

~

(см. с. 175) было показано, что момент сил N в Ц-системе не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют. Обычно в качестве такой точки берут точку С — центр масс системы. Целесообразность выбора именно этой точки в том, что относительно ее суммарный момент сил инерции равен нулю, поэтому следует учитывать только суммарный момент внешних сил взаимодействия NC . Итак,

т. е. производная по времени от собственного момента импуль-

где N Cz — суммарный момент внешних сил взаимодействия относительно неподвижной в Ц-системе оси Z, проходящей через

центр масс. И здесь если Cz 0, то ~ z const.

N M

§ 5.4. Динамика твердого тела

Движение твердого тела в общем случае определяется двумя векторными уравнениями. Одно из них — уравнение движения центра масс (3.11), другое — уравнение моментов в Ц-системе (5.24):

Зная законы действующих внешних сил, точки их приложения и начальные условия, можно с помощью этих уравнений найти как скорость, так и положение каждой точки твердого тела в любой момент времени, т. е. полностью решить задачу о движении тела. Однако несмотря на кажущуюся простоту уравнений (5.26), решение их в общем случае представляет со-

бой весьма трудную задачу. И прежде всего это обусловлено

тем обстоятельством, что связь между собственным моментом

~

импульса M и скоростями отдельных точек твердого тела в Ц-системе оказывается сложной, за исключением немногих частных случаев. Мы не будем рассматривать эту задачу в общем виде (она решается в общей теории) и ограничимся в дальнейшем только отдельными частными случаями.

Но прежде приведем некоторые соображения, прямо вытекающие из вида самих уравнений (5.26). Если мы будем переносить силы вдоль направления их действия, то ясно, что не изменяется ни их результирующая F, ни их суммарный момент NC. При этом уравнения (5.26) тоже не изменятся, а следовательно, не изменится и движение твердого тела. Поэтому точки приложения внешних сил можно переносить вдоль направления действия сил — прием, которым постоянно пользуются.

Равнодействующая сила

В тех случаях, когда суммарный момент всех внешних сил оказывается перпендикулярным результирующей силе, т. е. N F, все внешние силы могут быть сведены к одной силе F, действующей вдоль определенной

прямой. В самом деле, если относитель-

но некоторой точки О суммарный момент N F, то всегда можно найти такой вектор r0 N (рис. 5.14), что при заданных N и F

N [r0 F] .

При этом выбор r0 неоднозначен: прибавление к нему любого вектора r, параллельного F, не изменит последнего равенства. А это означает, что данное равенство определяет не точку «приложения» силы F, а линию ее действия. Зная модули N и F соответствующих векторов, можно найти плечо l силы F (рис. 5.14): l = N/F.

Таким образом, если N F, систему сил, действующих на отдельные точки твердого тела, можно заменить одной равно-

действующей силой — силой, которая равна результирующей F и создает момент, равный суммарному моменту N всех внешних сил.

Таков, в частности, случай однородного силового поля, например поля тяжести, в котором действующая на каждую частицу сила имеет вид Fi mi g. В этом случае суммарный момент сил тяжести относительно любой точки О равен

N . [ri ,m i g] 8 . m i ri g9.

Стоящая в круглых скобках сумма, согласно (3.8), равна mrC, где m — масса тела, rC — радиус-вектор его центра масс относительно точки О. Поэтому

N [mrC , g] [rC ,mg] .

Это значит, что равнодействующая mg сил тяжести проходит через центр масс тела. Обычно говорят, что равнодействующая сил тяжести «приложена» к центру масс тела или к его центру тяжести. Ясно, что момент этой силы относительно центра масс тела равен нулю.

Условия равновесия твердого тела

Тело будет оставаться в состоянии покоя, если нет причин, вызывающих его движение. Согласно уравнениям (5.26), для этого необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1) результирующая всех внешних сил, приложенных к телу, должна быть равной нулю, т. е.

F . Fi внеш 0;

2) суммарный момент внешних сил относительно любой точки тоже должен быть равен нулю, т. е.

N . Ni внеш 0.

Эти условия должны быть выполнены в той системе отсчета, где тело покоится. Если система отсчета неинерциальная, то кроме внешних сил взаимодействия надо учитывать и силы инерции. Это же относится и к моментам сил.

Теперь перейдем к рассмотрению четырех частных случаев движения твердого тела: 1) вращение вокруг неподвижной оси, 2) плоское движение, 3) вращение вокруг свободных осей, 4) особый случай движения тела с одной неподвижной точкой (гироскопы).

1. Вращение вокруг неподвижной оси

Найдем сначала выражение для момента импульса твердого тела относительно оси вращения OO (рис. 5.15). Воспользовавшись формулой (5.9), запишем

M z . M iz .m i 2i z ,

где mi и i — масса и расстояние от оси вращения i-й частицы твердого тела, z — его угловая скорость. Обозначив величину, стоящую в круглых скобках, через I, получим

Рис. 5.15

где I — момент инерции твердого тела относительно оси OO :

Момент инерции твердого тела зависит, как нетрудно видеть, от распределения масс относительно интересующей нас оси и является величиной аддитивной.

Вычисление момента инерции тела проводится по формуле

I r 2 dm r 2 dV,

где dm и dV — масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии r от интересующей нас оси Z; — плотность тела в данной точке.

Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси ZC, проходящей через центр масс тела, приведены в следующей таблице (здесь m — масса тела):

Вычисление момента инерции твердого тела произвольной формы относительно той или иной оси представляет собой, вообще говоря, довольно кропотливую в математическом отношении задачу. Однако в некоторых случаях нахождение момента инерции значительно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси Z равен моменту инерции IC относительно оси ZC, параллельной данной и проходящей через центр масс С тела, плюс произведение массы m тела на квадрат расстояния а между осями:

Доказательство этой теоремы дано в приложении 3. Таким образом, если известен момент инерции IC, то нахож-

дение момента инерции I элементарно. Например, момент инерции тонкого стержня (массы m и длины l) относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец, равен

Уравнение динамики вращения твердого тела (ось вращения неподвижна). Это уравнение легко получить как следствие (5.15), если продифференцировать (5.27) по времени, тогда

178 Глава 5

где Nz — суммарный момент всех внешних сил относительно оси вращения. Из этого уравнения, в частности, видно, что момент инерции I определяет инерционные свойства твердого тела при вращении: при одном и том же значении момента сил Nz тело с бульшим моментом инерции приобретает меньшее угловое ускорение z .

Напомним, что моменты сил относительно оси — величины алгебраические: их знаки зависят как от выбора положительного направления оси Z (совпадающей с осью вращения), так и от направления «враще-

ния» соответствующего момента силы. Например,

выбрав положительное направление оси Z (рис. 5.16), мы задаем и положительное направление отсчета угла (оба эти направления связаны

правилом правого винта). Если некоторый момент Niz «вращает» в положительном направлении угла , то этот момент считается положительным, и наоборот. А знак суммарного момента Nz в свою очередь определяет знак z — проекции вектора углового ускорения на ось Z.

Интегрирование уравнения (5.30) с учетом начальных условий — значений 0 z и 0 в начальный момент времени — позволяет полностью решить задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, т. е. найти зависимость от времени угловой скорости и угла поворота, z (t) и t .

Заметим, что уравнение (5.30) справедливо в любой системе отсчета, жестко связанной с осью вращения. Однако если система отсчета неинерциальная, то момент сил Nz включает в себя не только моменты сил взаимодействия с другими телами, но и моменты сил инерции.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела (ось вращения неподвижна). Имея в виду, что скорость i-й частицы

где I — момент инерции тела относительно оси вращения, — его угловая скорость.

Пример. Диск 1 (рис. 5.17) вращается вокруг гладкой вертикальной оси с угловой скоростью w1. На него падает

диск 2, вращающийся с угловой скоростью w2. Вследствие трения между ними оба дис-

ка через некоторое время начинают вращаться как единое целое. Найдем приращение кинетической энергии вращения этой системы, если моменты инерции дисков относительно оси вращения равны соответственно

I1 и I2.

Сначала найдем установившуюся угловую скорость вращения. Из закона сохранения момента импульса системы относительно оси z следует, что I1 1 z I2 2 z ( I1 I2 ) z , откуда

Заметим, что 1 z , 2 z и z — величины алгебраические. Если окажется, что z 0, то это значит, что соответствующий вектор w совпадает с положительным направлением оси z, и наоборот.

Приращение кинетической энергии вращения этой системы

K 1/2 ( I1 I2 ) 2z 1/2 ( I1 12z I2 22 z ).

Заменив z его выражением (1), получим

Знак минус показывает, что кинетическая энергия системы уменьшается.

Обратим внимание на то, что полученные результаты (1) и (2) весьма похожи по форме и по смыслу на случай абсолютно неупругого столкновения (см. с. 128).

Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. В соответствии с уравнением (4.49) работа всех внешних сил, действующих на твердое тело, равна приращению только кинетической энергии тела, так как его собственная потенциальная энергия при этом не меняется. Таким обра-