Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т1 Механика. Основные законы_2014, 12-е изд, 309с

1)платформа нагружена песком, который высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью 2 (кг/с), а в момент t = 0 масса платформы с песком равна m0;

2)на платформу, масса которой m0, в момент t = 0 начинает высыпаться песок из неподвижного бункера так, что скорость по-

грузки постоянна и равна 2 кг/с.

Р е ш е н и е. 1. В этом случае реактивная сила равна нулю и уравнение (3.13) имеет вид (m0 2t) dv/dt F, откуда

dv Fdt/(m0 2t).

Проинтегрировав это уравнение с учетом начальных условий, получим

2. Здесь горизонтальная составляющая реактивной силы (а только эта составляющая нас и интересует) R 2 ( v), где v — скорость платформы. Поэтому уравнение (3.13) приводится к виду (3.15), или

d (mv) Fdt.

Интегрирование с учетом начальных условий дает

mv Ft,

где m m0 2t. Отсюда

v Ft/(m0 2t).

Полученные в обоих случаях выражения справедливы, разумеется, лишь в процессе разгрузки (или погрузки) платформы.

3.8.Ракета поддерживается в воздухе на постоянной высоте, выбрасывая вертикально вниз струю газа со скоростью u. Найти:

1)сколько времени ракета сможет оставаться на этой высоте, если начальная масса топлива составляет -ю часть ее массы (без топлива);

2)какую массу 2(t) газов должна ежесекундно выбрасывать ракета, чтобы оставаться на постоянной высоте, если начальная масса ракеты (с топливом) равна m0.

Р е ш е н и е. 1. В данном случае dv/dt 0 и уравнение (3.13) примет вид

mg (dm/dt)u 0,

Отсюда

t (u/g )ln (m0 /m ) (u/g )ln(1 ), где учтено, что (m0 m )/m.

2. Из уравнения (1) предыдущего пункта следует, что

2 dm/dt ( g /u )m,

где m находим из (2): m m0 e gt/u. В результате

2 ( g /u )m0 e gt/u .

По такому закону 2 меняется со временем в течение промежутка времени, найденного в п. 1.

3.9.Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх в однородном поле тяжести. Первоначальная масса ракеты

(с топливом) равна m0. Скорость газовой струи постоянна и равна u относительно ракеты. Пренебрегая сопротивлением воздуха,

найти скорость v ракеты в зависимости от ее массы m и времени подъема t.

Р е ш е н и е. Запишем уравнение движения ракеты — уравнение (3.13) — в проекциях на вертикальную ось с положительным направлением вверх:

m dv mg u dm . dt dt

Перепишем это уравнение так:

m d (v gt) u dm , dt dt

откуда

d(v gt) u dm/m.

Проинтегрировав с учетом начальных условий последнее уравнение, получим

v gt u ln (m/m0 ).

Искомая скорость ракеты

vu ln (m0 /m ) gt.

3.10.Космический корабль массы m0 движется в отсутствие внешнего силового поля с постоянной скоростью v0. Для изменения направления движения был включен реактивный двигатель, кото-

рый стал выбрасывать струю газа с постоянной относительно корабля скоростью u, причем вектор u все время перепендикулярен направлению движения корабля. В конце работы двигателя масса корабля стала равна m. На какой угол изменилось направление движения корабля за время работы двигателя?

Ре ш е н и е. Найдем приращение вектора скорости корабля за промежуток времени dt. Умножив обе части уравнения (3.13) на dt и учитывая, что F = 0, получим

dv u dm /m.

Здесь dm 0. Так как вектор u все время перпендикулярен вектору v (скорости корабля), то модуль вектора v не изменяется и остается равным своему первоначальному значению: | v| v0 . Отсюда следует, что угол поворота d вектора v за время dt определяется как

d |dv | /v0 (u/v0 ) |dm/m |.

Проинтегрировав это уравнение, найдем

(u/v0 )ln (m0 /m ).

§ 4.1. Работа и мощность

Работа

Пусть частица под действием силы F совершает перемещение по некоторой траектории 1–2 (рис. 4.1). В общем случае сила F в процессе движения частицы может изменяться как по модулю, так и по направлению. Рассмотрим элементарное перемещение dr, в пределах которого силу F можно считать постоянной.

Действие силы F на перемещении dr характеризуют величиной, равной скалярному произведению

Fdr, которую называют элементарной работой силы F на перемещении dr. Ее можно представить и в другом виде:

Fdr F cos ds Fs ds,

где — угол между векторами F и dr,

ds | dr| — элементарный путь, Fs — проекция вектора F на вектор dr (рис. 4.1).

Итак, элементарная работа силы F на перемещении dr

Величина А — алгебраическая: в зависимости от угла между векторами F и dr (или от знака проекции Fs вектора F на вектор dr) она может быть как положительной, так и отрицательной и, в частности, равной нулю (если F dr, т. е. Fs = 0).

Суммируя (интегрируя) выражение (4.1) по всем элементарным участкам пути от точки 1 до точки 2, находим работу силы F на данном пути:

11

94 Глава 4

Отметим следующее важное обстоятельство: формула (4.2)

справедлива не только для частицы, но и вообще для любого тела (или системы тел). Надо только иметь в виду, что под dr (или ds) следует понимать перемещение точки приложения силы F. Игнорирование этого обстоятельства зачастую приводит к ошибочным результатам.

Выражению (4.2) можно придать наглядный геометрический смысл. Изобразим график Fs как функцию положения частицы на траектории. Пусть, например, этот график имеет

со знаком минус (она соответствует отрицательной работе). Рассмотрим несколько примеров на вычисление работы.

Работа упругой силы

Работа упругой силы F –kr, где r — радиус-вектор частицы M относительно точки О (рис. 4.3, а). Переместим частицу M, на которую действует эта сила, по произвольному пути из точки 1 в точку 2. Найдем сначала элементарную работу силы F на элементарном перемещении dr:

A Fdr –krdr.

Скалярное произведение r dr r (dr)r , где (dr) r — проекция dr на вектор r. Эта проекция равна dr — приращению модуля вектора r. Поэтому r dr r dr и

A –krdr –d(kr2/2) .

Теперь вычислим работу данной силы на всем пути, т. е. проинтегрируем последнее выражение от точки 1 до точки 2:

Работа гравитационной (или кулоновской) силы

Пусть в точке О (рис. 4.3, б) находится неподвижный силовой центр — материальная точка, действующая на частицу M с силой F, которая как для гравитационного, так и для кулоновского взаимодействий может быть представлена в виде

F ( /r 2 ) er ,

где — соответствующая постоянная ( m1m2 или kq1q2 ), r — расстояние от точки О до частицы M, er — орт радиуса-вектора r.

Рис. 4.3

Элементарная работа этой силы на перемещении dr

A Fdr ( /r 2 )er dr.

Скалярное произведение erdr = dr, т. е. равно приращению модуля вектора r, поэтому

A dr/r 2 d ( /r).

Работа же этой силы на всем пути от точки 1 до точки 2

Работа однородной силы тяжести

Запишем эту силу в виде F mgk, где k — орт вертикальной оси Z, положительное направление которой выбрано вверх (рис. 4.4). Элементарная работа силы тяжести на перемещении dr

A Fdr mg kdr.

Скалярное произведение kdr = (dr)k, где (dr)k — проекция dr на орт k, равная dz — приращению координаты z. Поэтому kdr dz и

A mg dz d (mgz ).

Работа данной силы на всем пути от точки 1 до точки 2

Рассмотренные силы интересны в том отношении, что их ра-

бота, как видно из (4.3)–(4.5), не зависит от формы пути между точками 1 и 2, а зависит только от по-

ложения этих точек. Эта весьма

важная особенность данных сил присуща, однако, не всем силам.

Например, сила трения этим свой-

ством не обладает: работа этой силы зависит не только от положе-

Рис. 4.4

ния начальной и конечной точек,

но и от формы пути между ними. До сих пор речь шла о работе одной силы. Если же на частицу в процессе движения действуют несколько сил, результирующая которых F = F1+F2+..., то нетрудно показать, что работа результирующей силы F на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отде-

льности на том же перемещении. Действительно,

A (F1 F2 ...) dr F1dr F2 dr ... A1 A2 ... . (4.6)

Единицей работы в СИ является джоуль (Дж). Джоуль — это работа силы в 1 Н на пути 1 м (при условии, что направление силы совпадает по направлению с перемещением), или 1 Дж = = 1 Н,м.

Мощность

Для характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят величину, называемую мощностью. Мощность, по определению, — это работа, совершаемая силой за единицу времени. Если за промежуток времени dt сила F совершает работу Fdr, то мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени, есть P = Fdr/dt. Учитывая, что dr/dt = v, получаем

Таким образом, мощность, развиваемая силой F, равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения данной силы. Как и работа, мощность — величина алгебраическая.

Зная мощность силы F, можно найти и работу, которую совершает эта сила за промежуток времени t. В самом деле, представив подынтегральное выражение в формуле (4.2) в виде Fdr Fvdt Pdt, получим

t

A P dt.

0

Единицей мощности в СИ является ватт (Вт), равный джоулю в секунду (Дж/с).

В заключение обратим внимание на одно весьма существенное обстоятельство. Когда говорят о работе (или мощности), то необходимо в каждом конкретном случае четко указывать или представлять себе, работа какой именно силы (или сил) имеется в виду. В противном случае, как правило, неизбежны недоразумения.