Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т1 Механика. Основные законы_2014, 12-е изд, 309с

где i = 1, 2. В проекциях на произвольную ось x это равенство имеет вид

В частности, если массы частиц одинаковы, то легко убедиться, что частицы в результате столкновения просто обменива-

2. Нелобовое столкновение. Ограничимся случаем, когда одна из частиц покоится до столкновения. Пусть в K-системе отсчета частица массы m1 с импульсом p1 испытала упругое нелобовое столкновение с покоившейся частицей массы m2. Каковы возможные импульсы этих частиц после столкновения?

Рассмотрим этот процесс также сначала в Ц-системе. Здесь, как и в предыдущем случае, обе частицы в любой момент времени до и после столкновения имеют одинаковые по модулю и противоположные по направлению импульсы. Кроме того, импульс каждой частицы не изменится по модулю в результате столкновения:

где VC — скорость Ц-системы относительно K-системы отсчета.

Сложив отдельно левые и правые части этих равенств с уче-

как и должно быть в соответствии с законом сохранения импульса. Построим теперь векторную диаграмму импульсов. Сначала

где v1 — скорость налетающей частицы. А так как в нашем случае v1 vотн, то, согласно (4.59) и (4.60),

2 ~ .

OB v отн p

Таким образом, для построения векторной диаграммы импульсов, соответствующей упругому столкновению двух частиц (одна из которых первоначально покоилась), необходимо:

1)изобразить отрезок AB, равный импульсу p1 налетающей частицы;

2)через точку B — конец вектора p1 — провести окружность радиуса

Мы видим, таким образом, что уже сами по себе законы сохранения импульса и энергии действительно позволяют сделать ряд важных заключений о свойствах рассматриваемого процесса. При этом особенно существен тот факт, что эти свойства имеют общий характер, т. е. не зависят от рода взаимодействия частиц.

Следует, однако, обратить внимание на одно принципиальное обстоятельство. Векторная диаграмма импульсов, в основе которой лежат законы сохранения импульса и энергии, давая нам полную картину всех возможных случаев разлета частиц после столкновения — результат сам по себе весьма существенный, — совершенно не говорит о том, какой из этих возможных случаев реализуется конкретно. Для установления этого необходимо обратиться к более детальному рассмотрению процесса столкновения с помощью уравнений движения. При этом выясняется, например, что угол рассеяния 1 налетающей частицы зависит от характера взаимодействия сталкивающихся частиц и от прицельного параметра*, неоднозначность же решения в случае m1 m2 объясняется тем, что один и тот же угол рассеяния 1 может реализоваться при двух значениях прицельного параметра, причем независимо от закона взаимодействия частиц.

Указанное обстоятельство представляет собой очень характерную и принципиальную черту законов сохранения вообще. Законы сохранения никогда не дают и не могут дать однозначного ответа на вопрос о том, что произойдет. Но если, исходя из каких-либо других соображений, можно указать, что именно должно произойти, то законы сохранения дают ответ на вопрос, как это должно произойти.

Неупругое столкновение

Это такое столкновение, в результате которого внутренняя энергия разлетающихся частиц (или одной из них) изменяется, а следовательно, изменяется и суммарная кинетическая энергия системы. Соответствующее приращение кинетической энергии системы принято обозначать Q. В зависимости от знака Q неупругое столкновение называ-

*Прицельный параметр — это расстояние между прямой, вдоль которой направлен импульс налетающей частицы, и частицей, с которой происходит «столкновение».

ют экзоэнергетическим (Q > 0) или эндоэнергетическим (Q < 0). В первом случае кинетическая энергия системы увеличивается, во втором — уменьшается. При упругом столкновении, разумеется, Q 0.

Наша задача: найти возможные импульсы частиц после неупругого столкновения.

Этот вопрос наиболее просто решается в Ц-системе. Согласно условию, приращение суммарной кинетической энергии системы в данном процессе

Так как K K, то, согласно (4.61), импульсы частиц после столк-

новения изменятся по модулю. Импульс каждой частицы после столк-

столкновения. Импульс налетающей частицы p1 = АВ (рис. 4.15) делят точкой О на две части, пропорциональные массам частиц (АО : ОВ =

: ). Затем из точки проводят окружность радиуса ~ [см. m1 m2 О p

(4.69)]. Эта окружность является геометрическим местом точек возможных положений вершины С треугольника импульсов АВС, стороны АС и СВ которого равны импульсам соответствующих частиц после столкновения.

Отметим, что теперь в отличие от упругого столкновения точка В (конец вектора p1) не лежит на окружности, а именно: при Q > 0 эта точка находится внутри окружности, а при Q < 0 — вне ее. Рис. 4.15 соответствует последнему случаю — эндоэнергетическому столкновению.

Порог. Есть много неупругих столкновений, в которых внутренняя энергия частиц способна изменяться только на совершенно определенную величину, зависящую от свойств самих частиц (таковы, например, неупругие столкновения атомов и молекул). Несмотря на это, экзоэнергетические столкновения (Q > 0) могут происходить при сколь

угодно малой кинетической энергии налетающей частицы. Эндоэнергетические же процессы (Q < 0) в таких случаях обладают порогом. Порогом называют минимальную кинетическую энергию налетающей частицы, начиная с которой данный процесс становится энергетически возможным.

Итак, пусть нам необходимо осуществить такое эндоэнергетическое столкновение, в котором внутренняя энергия частиц способна получить приращение не меньше некоторого значения | Q|. При каком условии такой процесс возможен?

Этот вопрос наиболее просто решается также в Ц-системе, где ясно,

кинетическая энергия системы целиком пойдет на увеличение внутренней энергии частиц, и частицы после столкновения остановятся в Ц-системе.

Рассмотрим этот же процесс в K-системе отсчета, где частица массы m1 налетает~ на покоящуюся частицу массы m2. Так как в Ц-систе- ме при Kмин частицы после столкновения останавливаются, то это значит, что в K-системе при соответствующей пороговой кинетической энергии K1пор налетающей частицы обе частицы после столкновения будут двигаться как единое целое, причем с суммарным импульсом,

Это и есть та пороговая кинетическая энергия налетающей частицы, начиная с которой данный эндоэнергетический процесс становится энергетически возможным.

Заметим, что формула (4.70) играет большую роль особенно в атомной и ядерной физике. С ее помощью определяют как порог различных эндоэнергетических процессов, так и соответствующую им энергию |Q|.

да за промежуток времени t сквозь сечение площади S пройдет объем жидкости Sv t. Поскольку жидкость несжимаема, масса жидкости между

сечениями S1 и S2 трубки тока (рис. 4.16) будет оставаться неизменной. Значит, объем жидкости, протекающей сквозь сечения S1 и S2 за

время t, должен быть одинаковым.

Отсюда следует, что S1v1 S2 v2 . Другими словами, для несжимаемой жидкости величина Sv в любом сечении одной и той же трубки тока одинакова:

Это соотношение называют уравнением неразрывности струи.

Уравнение Бернулли

Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости в однородном поле сил тяжести. Покажем, что с помощью энергетического подхода можно получить весьма важное соотношение между некоторыми параметрами текущей жидкости.

С этой целью выделим мысленно часть жидкости, которая в момент t заполняет объем узкой

трубки тока между нормальными сечениями 1 и 2 (рис. 4.17).

К моменту t + t эта часть жидкости переместится вдоль трубки тока в направлении сечения, показанном на рисунке двойной стрелкой, и окажется между сечениями 1 и 2 .

Согласно уравнению (4.54), приращение полной механической энергии этой части жидкости за время t

где A внешстор — работа, которую совершают силы давления (они и есть в данном случае сторонние). При этом силы давления, пер-

пендикулярные выделенной трубке, работы не совершают. Работу будут совершать только силы давления, действующие в сечениях 1 и 2. Эта работа равна

Течение жидкости стационарно, поэтому полная механическая энергия части жидкости трубки тока между сечениями 1 и 2 не меняется. Значит, приращение энергии E рассматриваемой части жидкости можно представить как разность энергий элементов 2–2 и 1–1 :

где — плотность жидкости.

Приравняв, согласно (4.72), выражения (4.73) и (4.74), получим после сокращения на V и перегруппировки слагаемых следующее уравнение:

где все величины относятся, по существу, к одной и той же линии тока. Для разных линий тока эта константа, вообще говоря, будет своей.

Уравнение (4.75) называют уравнением Бернулли. Несмотря на то, что это уравнение получено для идеальной жидкости, оно достаточно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых (вязкость) сравнительно мало.

Рассмотрим два примера на применение уравнения Бернулли.

Пример 1. В случае горизонтальной линии тока величина h одинакова

т. е. давление больше в тех точках, где скорость меньше. Скажем, в горизонтальной трубке с изменяющимся вдоль оси сечением (рис. 4.18) скорость v течения, согласно (4.71), в сечении S2, будет больше, чем в сечении S1, а значит, давление p слева больше. Именно перепад давления и будет создавать ускорение a жидкости, которое направлено вправо. Заметим, что ход графиков v, p и направление вектора a не зависят от направления движения жидкости.

Пример 2. Рассмотрим истечение идеальной жидкости через малое отверстие 2 в боковой стенке или дне широкого открытого сосуда (рис. 4.19). Все линии тока проходят через отверстие, начинаясь у свободной поверхности жидкости, где скорость пренебережимо мала (сосуд широкий). Поэтому постоянная в законе Бернулли будет одна и та же у всех линий тока. Применим уравнение (4.75), например, к линии тока 1–2 и будем отсчитывать h от уровня, на котором находится малое отверстие 2. Тогда

gh p0 v 2 /2 p0 ,

где p0 — атмосферное давление, v — скорость течения в точке 2. Отсюда

Это формула Торричелли. Видно, что при истечении через малое отверстие жидкость имеет скорость, которую приобретает тело, свободно падающее с высоты h. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше из-за вязкости жидкости.