Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т1 Механика. Основные законы_2014, 12-е изд, 309с
.pdf
100 |
Глава 4 |
|
|
Полученное выражение зависит только от вида функции f(r), т. е. от характера взаимодействия и от значений r1 и r2 — начального и конечного расстояний между частицами M и О. От пути оно никак не зависит.
Обобщим полученный результат на стационарное силовое поле, вызванное наличием совокупности неподвижных частиц, действующих на частицу M с силами F1, F2,..., каждая из которых является центральной. В этом случае работа результирующей силы при перемещении частицы M из одной точки в другую равна алгебраической сумме работ отдельных сил. А так как работа каждой из этих сил не зависит от пути, то и работа результирующей силы также не зависит от пути.
Вывод: поскольку центральные силы обладают таким свойством, они являются консервативными.
Потенциальная энергия частицы в поле
То обстоятельство, что работа консервативных сил в случае стационарного поля зависит только от начального и конечного положений частицы, дает возможность ввести чрезвычайно важное понятие потенциальной энергии.
Представим себе стационарное поле консервативных сил, в котором мы перемещаем частицу из разных точек Pi в некоторую фиксированную точку О. Так как работа сил поля не зависит от пути, то остается зависимость ее только от положения точки P (при фиксированной точке О). А это значит, что данная работа будет некоторой функцией радиуса-вектора r точки P. Обозначив эту функцию U(r), запишем
O |
|
A PO Fdr U(r). |
(4.9) |
P
Функцию U(r) называют потенциальной энергией частицы в данном поле.
Найдем работу сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 (рис. 4.7). Так как работа не зависит от пути, выберем путь, проходящий через точку О.
Рис. 4.7
Закон сохранения энергии |
101 |
|
|
Тогда работа на пути 1О2 может быть представлена в виде
A12 A1O A O2 A1O A2 O ,
или с учетом (4.9)
2 |
|
A12 Fdr U1 U2 . |
(4.10) |
1 |
|
Выражение, стоящее справа, есть убыль* потенциальной энергии, т. е. разность значений потенциальной энергии частицы в начальной и конечной точках пути.
Таким образом, работа сил поля на пути 1 — 2 равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле.
Очевидно, частице, находящейся в точке О поля, всегда можно приписать любое наперед выбранное значение потенциальной энергии. Это соответствует тому обстоятельству, что работа сил поля определяет лишь разность потенциальных энергий в двух точках, но не их абсолютное значение. Однако как только фиксирована потенциальная энергия в какой-либо точке, значения ее во всех остальных точках поля однозначно определяются формулой (4.10).
Формула (4.10) позволяет найти выражение U(r) для любого стационарного поля консервативных сил. Для этого достаточно вычислить работу, совершаемую силами поля на любом пути между двумя точками, и представить ее в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциальная энергия U(r).
*Изменение какой-либо величины Х можно характеризовать либо ее приращением, либо убылью. Приращением величины Х называют разность конечного (Х2) и начального (Х1) значений этой величины:
приращение X X 2 X1 .
Убылью величины Х называют разность ее начального (Х1) и конечного (Х2) значений:
убыль X1 X 2 X,
т. е. убыль величины Х равна ее приращению, взятому с обратным знаком. Приращение и убыль — величины алгебраические: если, например, X 2 X1 , то приращение отрицательно, а убыль положительна.
102 |
Глава 4 |
|
|
Именно так и было сделано при вычислении работы в полях упругой и гравитационной (кулоновской) сил, а такдже в однородном поле сил тяжести [см. формулы (4.3)–(4.5)]. Из этих формул сразу видно, что потенциальная энергия частицы в данных силовых полях имеет следующий вид:
1) в поле упругой силы
U(r) kr2/2; |
(4.11) |
2) в гравитационном (кулоновском) поле материальной точки
U(r) /r; |
(4.12) |
3) в однородном поле сил тяжести
U(z) mgz. |
(4.13) |
Еще раз отметим, что потенциальная энергия U — функция, которая определяется с точностью до прибавления некоторой произвольной постоянной. Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно, так как в формулы входит только разность значений U в двух положениях частицы. Поэтому произвольная постоянная, одинаковая для всех точек поля, выпадает. В связи с этим ее обычно опускают, что и сделано в трех предыдущих выражениях.
И еще одно важное обстоятельство. Потенциальную энергию следует относить не к частице, а к системе взаимодействующих между собой частицы и тел, вызывающих силовое поле. При данном характере взаимодействия потенциальная энергия взаимодействия частицы с данными телами зависит только от положения частицы относительно этих тел.
Потенциальная энергия и сила поля
Взаимодействие частицы с окружающими телами можно описывать двумя способами: с помощью сил или с помощью потенциальной энергии. В ньютоновской механике оба способа используют одинаково широко. Однако первый способ обладает несколько большей общностью, так как он применим и к таким силам, для которых нельзя ввести потенциальную энергию (например, к силам трения). Второй способ применим только в случае консервативных сил.
Закон сохранения энергии |
103 |
|
|
Наша задача — установить связь между потенциальной энергией и силой поля, точнее, определить поле сил F(r) по заданной потенциальной энергии U(r) как функции положения частицы в поле.
Мы уже знаем, что при перемещении частицы из одной точки стационарного поля консервативных сил в другую работа, которую производят силы поля, может быть представлена как
убыль потенциальной энергии частицы в данном поле, т. е. |
|
A12 U1 U2 U. Это относится и к элементарному переме- |
|
щению dr, а именно: A dU, или |
|
Fdr dU. |
(4.14) |
Имея в виду, что Fdr Fs ds, где ds | dr| — элементарный путь, Fs — проекция вектора F на перемещение dr, перепишем уравнение (4.14) в форме
Fs ds dU,
где dU — убыль потенциальной энергии в направлении перемещения dr. Отсюда
Fs 3U/ 3s, |
(4.15) |
т. е. проекция силы поля — вектора F — в данной точке на направление перемещения dr равна с обратным знаком производной потенциальной энергии U по данному направлению. Символ 3/ 3s — частной производной — подчеркивает, что производная берется по определенному направлению.
Перемещение dr можно взять в любом направлении, в частности вдоль координатных осей X, Y, Z. Если перемещение dr, например, параллельно оси Х, то его можно представить так: dr idx, где i — орт оси Х, dх — приращение координаты x. Тогда работа силы F на перемещении dr, параллельном оси X,
Fdr F i dx Fx dx,
где Fx — проекция вектора F на орт i (а не на перемещение dr, как в случае Fs). Подставив последнее выражение в уравнение (4.14), получим
Fx 3U/ 3x,
104 |
Глава 4 |
|
|
где символ частной производной означает, что U(x, y, z) при дифференцировании должна рассматриваться как функция одного аргумента x, остальные же аргументы должны оставаться при этом постоянными. Ясно, что для проекций Fy и Fz уравнения будут аналогичны уравнению для Fx.
Итак, взяв с обратными знаками частные производные функции U по x, y и z, мы найдем проекции Fx, Fy и Fz вектора F на орты i, j и k. Отсюда легко найти и сам вектор:
F Fx i Fy j Fz k, или
& |
3U |
|
3U |
|
3U |
) |
|
|
( |
i |
j |
+ |
(4.16) |
||||
|
|
|
||||||
F ( |
3x |
3y |
3z |
k+ . |
||||
|
|
|
|
|
Величину, стоящую в скобках, называют градиентом скалярной фукнции U и обозначают grad U или 4U. Мы будем пользоваться вторым, более удобным, обозначением, где 4 («набла») означает символический вектор или оператор
4 i |
3 |
j |
3 |
k |
3 |
. |
|
|
|
|
(4.17) |
||||
|
3x 3y |
3z |
|||||
|
|
||||||
Поэтому 4U формально можно рассматривать как произведение символического вектора 4 на скаляр U.
Таким образом, связь между силой поля и потенциальной энергией как функцией координат можно представить в следующем компактном виде:
F 4U , |
(4.18) |
|
|
т. е. сила поля F равна со знаком минус градиенту потенциальной энергии частицы в данной точке поля. Формула (4.18) позволяет, зная функцию U(r), восстановить поле сил F(r).
Пример. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид: а) U( x, y) xy, где — постоянная;
б) U( r ) ar, где а — постоянный вектор, r — радиус-вектор точки поля.
Найдем а) F
соответствующее каждому случаю поле сил: |
||||||
& |
3U |
|
3U |
) |
|
|
( |
i |
+ |
( yi xj) ; |
|||
|
|
|||||
( |
3x |
3y |
j+ |
|||
|
|
|
|
|||
Закон сохранения энергии |
|
|
|
105 |
||||
|
||||||||
б) представим функцию U в виде U ax x ay y az z; тогда |
||||||||
& |
3U |
|
3U |
|
3U |
) |
|
|
( |
i |
j |
+ |
( ax i ay j az k) a. |
||||
|
|
|
||||||
F ( |
3x |
3y |
3z |
k+ |
||||
|
|
|
|
|
||||
Смысл градиента станет нагляднее и яснее, если ввести понятие эквипотенциальной поверхности — поверхности, во всех точках которой потенциальная энергия U имеет одно и то же значение. Ясно, что каждому значению U соответствует своя эквипотенциальная поверхность.
Из формулы (4.15) следует, что проекция вектора F на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. Это значит, что вектор F нормален эквипотенциальной поверхности в данной точке. Далее, возьмем перемещение 3s по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения U, тогда 3U 0 и, согласно (4.15), Fs 0, т. е. вектор F направлен в сторону уменьшения U. A так как F противоположен по направлению вектору 4U, то мы приходим к выводу, что градиент U — это вектор, направленный по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастанаия потенциальной энергии U.
Сказанное поясняет рис. 4.8, относящийся к двумерному случаю. На нем изображены система эквипотенци-
алей (U1 U2 U3 U4 ), а также градиент потенциальной энергии 4U и со-
ответствующий вектор силы F в точке А поля. Полезно подумать, какими бу-
дут векторы этих двух величин, например в точке В данного поля.
В заключение заметим, что можно
говорить о градиенте не только функции U, но и любой другой скалярной функции координат. Понятие градиента широко используется в самых различных разделах физики.
Понятие поля
Опыт показывает, что в случае гравитационных и электростатических взаимодействий сила F, действующая на интересующую нас частицу со стороны окружающих тел, пропорциона-
106 |
Глава 4 |
|
|
льна массе (или заряду) частицы, причем сила F может быть представлена в виде произведения двух величин, например в случае тяготения
F mG, |
(4.19) |
где m — масса частицы, G — некоторый вектор, зависящий как от положения частицы, так и от свойств окружающих тел.
Это открывает возможность иной физической интерпретации взаимодействия, связанной с понятием поля. А именно: говорят, что интересующая нас частица находится в поле, создаваемом окружающими ее телами и характеризуемом вектором G (r). Или, иначе, считают, что в каждой точке пространства вокруг этих тел (источников поля) создаются такие условия (вектор G), при которых частица, помещенная в эти точки, испытывает действие силы (4.19), причем считают, что поле, характеризуемое G(r), существует безотносительно к тому, есть в нем частица или нет*.
Вектор G называют напряженностью поля. Напряженность электрического поля обозначают E. Сила F, действующая на точечный заряд q в электростатическом поле, имеет вид, аналогичный (4.19), т. е. F = qE.
Далее в этом параграфе мы будем пользоваться величинами m и G, т. е. рассматривать гравитационное поле. Чтобы получить соответствующие соотношения для электростатического поля, достаточно заменить в формулах m и G на q и E.
Одно из важнейших свойств полей заключается в том, что поле, образованное несколькими источниками, равно сумме полей, созданных каждым из них. Точнее, напряженность G результирующего поля в произвольной точке
G .G i , |
(4.20) |
где Gi — напряженность поля i-го источника в этой же точке. Эта формула выражает принцип суперпозиции (или наложения) полей.
*Пока мы остаемся в рамках статики, понятие поля может рассматриваться как чисто условное (формальное), введенное лишь для удобства описания явлений. Однако при переходе к переменным полям выясняется, что понятие поля имеет глубокий физический смысл: поле есть физическая реальность.
Закон сохранения энергии |
107 |
|
|
Обратимся к потенциальной эрегргии частицы. Согласно (4.19), формулу (4.14) можно записать так: mGdr dU. Разделив обе части на m и обозначив отношение U/m через , получим
G dr d , |
(4.21) |
или |
|
2 |
|
G dr 1 2 . |
(4.22) |
1 |
|
Функцию (r) называют потенциалом поля в точке с радиу- сом-вектором r.
Формула (4.22) позволяет найти потенциал любого гравитационного и электростатического поля. Для этого достаточно вычислить интеграл G dr по произвольному пути между точками 1 и 2 и представить полученное выражение в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциал (r). Так, потенциалы гравитационного поля точечной массы m и кулоновского поля точечного заряда q определяются, согласно (4.12), формулами
гр m/r, |
кул kq/r. |
(4.23) |
Заметим, что потенциал , как и потенциальная энергия, может быть определен только с точностью до некоторой произвольной постоянной, также совершенно несущественной. Поэтому ее обычно опускают.
Итак, поле можно описывать или в векторном виде G(r), или в скалярном (r). Оба способа адекватны. Практически же оказывается, что второй способ описания поля (с помощью потенциала ) в большинстве случаев значительно удобнее, и вот почему.
1. Зная (r), можно немедленно вычислить потенциальную энергию U и работу сил поля А:
U m , A12 m( 1 2 ). |
(4.24) |
2.Вместо трех компонент векторной фукнции G(r) проще задавать скалярную функцию r .
3.Когда поле создается многими источниками, потенциал рассчитывать легче, чем вектор G: потенциалы — скаляры, их
108 |
Глава 4 |
|
|
можно просто складывать, не заботясь о направлении сил. Действительно, согласно (4.20) и (4.21),
G dr . G i dr . d i d. i d .
Таким образом
(r) . i (r), |
(4.25) |
где i — потенциал, создаваемый i-й частицей в данной точке поля.
4. И наконец, зная функцию (r), можно легко восстановить поле G(r) как
G 4. |
(4.26) |
Эта формула непосредственно следует из (4.18)
§ 4.3. Механическая энергия частицы в поле
Кинетическая энергия
Пусть частица массы m движется под действием некоторой силы F (в общем случае сила F может быть результирующей нескольких сил). Найдем элементарную работу, которую совершает эта сила F на элементарном перемещении dr. Имея в виду, что F m dv/dt и dr vdt, запишем
A Fdr mvdv.
Скалярное произведение vdv v(dv)v , где (dv)v — проекция вектора dv на направление вектора v. Эта проекция равна dv — приращению модуля вектора скорости. Поэтому vdv v dv и элементарная работа
A mv dv d(mv 2/2 ).
Отсюда видно, что работа результирующей силы F идет на приращение некоторой величины (стоящей в скобках), которую называют кинетической энергией:
K mv 2/2 . |
(4.27) |
Закон сохранения энергии |
109 |
|
|
Таким образом, приращение кинетической энергии частицы
при элементарном перемещении равно |
|
||
|
dK A, |
(4.28) |
|
а при конечном перемещении из точки 1 в точку 2 |
|
||
|
|
|
|
|
K2 K1 A12 , |
|
(4.29) |
|
|
|
|
т. е. приращение кинетической энергии частицы на некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу на том же перемещении. Если A12 0, то K2 K1 , т. е. кинетическая энергия частицы увеличивается; если A12 0, то кинетическая энергия уменьшается.
Уравнения (4.28) и (4.29) справедливы в инерциальных и неинерциальных системах отсчета. В последних кроме сил, действующих на рассматриваемую частицу со стороны ка- ких-то тел (сил взаимодействия), необходимо учитывать и силы инерции. Поэтому под работой в этих уравнениях надо понимать алгебраическую сумму работ как сил взаимодействия, так и сил инерции.
Полная механическая энергия частицы
Согласно (4.28), приращение кинетической энергии частицы равно элементарной работе результирующей F всех сил, действующих на частицу. Что это за силы? Если частица находится в интересующем нас стационарном поле консервативных сил, то на нее действует консервативная сила Fп со стороны этого поля. Кроме того, на частицу могут действовать и другие силы, не имеющие отношения к данному силовому полю. Назовем их сторонними силами Fстор. Отметим, что сторонние силы могут быть и консервативными, и неконсервативными. Существенно, повторяем, только одно — чтобы они не являлись силами интересующего нас силового поля.
Таким образом, результирующая F всех сил, действующих на частицу, может быть представлена как сумма F Fп Fстор . Работа этих сил идет на приращение кинетической энергии частицы:
K A сп A стор ,