Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т5 Квантовая физика Основные законы. 2014, 256с

70 Глава 3

рассчитать по формулам волновой оптики, если каждому электрону сопоставить дебройлевскую волну.

В явлении интерференции от двух щелей таится сама суть квантовой теории, поэтому уделим этому вопросу особое внимание.

Если мы имеем дело с фотонами, то парадокс (частица — волна) можно устранить, предположив, что фотон в силу своей специфичности расщепляется на две части (на щелях), которые затем интерферируют.

А электроны? Они ведь никогда не расщепляются — это установлено совершенно достоверно. Электрон может пройти

ляется. Вместо этого мы наблюдаем совершенно иное распределение* (рис. 3.8, б).

Не есть ли это крушение чистой логики и здравого смысла? Ведь все выглядит так, как если бы 100 100 0 (в точке P). В самом деле, когда открыта или щель 1 или щель 2, то в точку P приходит, скажем, по 100 электронов в секунду, а если открыты обе щели, то ни одного!..

Более того, если сначала открыть щель 1, а потом постепенно открывать щель 2, увеличивая ее ширину, то по здравому смыслу число электронов, приходящих в точку P ежесекундно, должно расти от 100 до 200. В действительности же — от 100 до нуля.

Если подобную процедуру повторить, регистрируя частицы, например, в точке О (см. рис. 3.8, б), то возникает не менее парадоксальный результат. По мере открывания щели 2 (при от-

*Это было установлено на эксперименте Мелленштадтом и Дюкером (1956), а также Йенсеном (1961).

крытой щели 1) число частиц в точке О растет не до 200 в секунду, как следовало бы ожидать, а до 400 !

Как открывание щели 2 может повлиять на электроны, которые, казалось бы, проходят через щель 1? Т. е. дело обстоит так, что каждый электрон, проходя через какую-то щель, «чувствует» и соседнюю щель, корректируя свое поведение. Или подобно волне проходит сразу через обе щели (!?). Ведь иначе интерференционная картина не может возникнуть. Попытка все же определить, через какую щель проходит тот или иной электрон, приводит к разрушению интерференционной картины, но это уже совсем другой вопрос.

Какой же вывод? Единственный способ «объяснения» этих парадоксальных результатов заключается в создании математического формализма, совместимого с полученными результатами и всегда правильно предсказывающего наблюдаемые явления. Причем, разумеется, этот формализм должен быть внутренне непротиворечивым.

И такой формализм был создан. Он ставит в соответствие каждой частице некоторую комплексную пси-функцию (r, t). Формально она обладает свойствами классических волн, поэтому ее часто называют волновой функцией. Но более подробно об этой функции, ее физическом смысле и уравнении, которое управляет ее поведением в пространстве и времени, речь пойдет в следующей главе.

Возвращаясь к поведению электронов при прохождении через две щели, мы должны признать: тот факт, что в принципе нельзя ответить на вопрос, через какую щель проходит электрон (не разрушая интерференционной картины), несовместим с представлением о траектории. Таким образом, электронам, вообще говоря, нельзя приписать траектории.

Однако при определенных условиях, а именно когда дебройлевская длина волны микрочастицы становится очень малой и может оказаться много меньше, например, расстояния между щелями или атомных размеров, понятие траектории снова приобретает смысл. Рассмотрим этот вопрос более подробно и сформулируем более корректно условия, при которых можно пользоваться классической теорией.

Критерий классического описания. Подобно той роли, которую играет скорость света при решении вопроса о применимости ньютоновской (нерелятивистской) механики, существует критерий, показывающий в каких случаях можно ограничиться классическими представлениями. Этот критерий связан с постоянной Планка h.

Физическая размерность h равна (энергия) (время) или (импульс) (длина) или (момент импульса). Величину с такой размерностью называют действием. Постоянная Планка является квантом действия.

Упомянутый критерий состоит в следующем. Если в данной физической системе значение некоторой характерной величины H с размерностью действия сравнимо с h, то поведение этой системы может быть описано только в рамках квантовой теории. Если же значение H очень велико по сравнению с h, то поведение системы с высокой точностью описывают законы классической физики.

Отметим, однако, что данный критерий имеет приближенный характер. Он указывает лишь, когда следует проявлять осторожность. Малость действия H не всегда свидетельствует

ополной неприменимости классического подхода. Во многих случаях она может дать некоторое качественное представление

оповедении системы, которое можно уточнить с помощью квантового подхода.

Величины макромира, имеющие размерность действия, в огромное число раз превышают квант действия h. Вот несколько примеров.

Пример 1. Небольшой маятник. Пусть средняя энергия его колебаний E 1 эрг, а период колебаний Т % 1 с. Величина с размерностью действия — это E · T. Отношение ET/h % 1026.

Пример 2. Вращающееся тело с моментом инерции I 1 г · см2 и угловой скоростью 1 рад/с. Отношение момента импульса к кванту действия I /h % 1026.

Пример 3. Небольшой гармонический осциллятор. Пусть его масса m 1 г, максимальная скорость v 1 см/с и максимальная амплитуда a 1 см. Тогда его максимальный импульс mv 1 г · см/с. Величина a · mv имеет размерность действия, и отношение amv/h 1026.

Видно, что во всех трех случаях действие H J h, а это означает, что описание движения таких систем можно уверенно проводить в рамках классической физики.

Совсем иначе обстоит дело, когда действие H становится сравнимым с h. Здесь мы вступаем в область, где действуют совершенно другие законы — законы квантовой физики. С этими законами нам и предстоит познакомиться.

§3.4. Принцип неопределенности

Вклассической физике исчерпывающее описание состояния частицы определяется динамическими параметрами, такими как координаты, импульс, момент импульса, энергия и др. Однако реальное поведение микрочастиц показывает, что существует принципиальный предел точности, с которой подобные переменные могут быть указаны и измерены.

Соотношения неопределенностей. Глубокий анализ причин существования этого предела, который называют принципом неопределенности, провел В. Гейзенберг (1927). Количественные соотношения, выражающие этот принцип в конкретных случаях, называют соотношениями неопределенностей.

Наиболее важными являются два соотношения неопределенностей.

Первое из них ограничивает точности одновременного измерения координат и соответствующих проекций импульса частицы. Для проекции, например, на ось X оно выглядит так*:

Второе соотношение устанавливает неопределенность измерения энергии, E, за данный промежуток времени t:

*Заметим, что в точном соотношении неопределенностей под x и px должны пониматься среднеквадратичные отклонения от средних значений, а справа не h и не h, а h/2. Мы не будем пользоваться точным соотношением, так как во

всех принципиальных вопросах существенно знать лишь порядок величиныx · px, а не ее точное значение.

Поясним смысл этих двух соотношений. Первое из них утверждает, что если положение частицы, например, по оси X известно с неопределенностью x, то в тот же момент проекцию импульса частицы на эту же ось можно измерить только с неопределенностью px % h/ x. Заметим, что эти ограничения не касаются одновременного измерения координаты частицы по одной оси и проекции импульса — по другой: величины х и py, y и pz и т. д. могут иметь одновременно точные значения.

Согласно второму соотношению (3.21) для измерения энергии c погрешностью E необходимо время, не меньшее, чемt h/ E. Примером может служить «размытие» энергетических уровней водородоподобных систем (кроме основного состояния). Это связано с тем, что время жизни во всех возбужденных состояниях этих систем порядка 10–8 c. Размытие же уровней приводит к уширению спектральных линий (естественное уширение), которое действительно наблюдается. Сказанное относится и к любой нестабильной системе. Если время жизни ее до распада порядка ), то из-за конечности этого времени энергия системы имеет неустранимую неопределенность, не меньшую, чем E % h/).

В дальнейшем будет показано, что во многих случаях умелое применение соотношений неопределенностей позволяет угадывать (или предсказывать) основные черты явлений.

О соотношении x p x Z . Обсудим более подробно смысл и возможности этого соотношения. Прежде всего обратим внимание на то, что оно определяет принципиальный предел неопределенностей x и px, с которыми состояние частицы можно характеризовать классически, т. е. координатой x и проекцией импульса px. Чем точнее x, тем с меньшей точностью возможно установить px, и наоборот.

Подчеркнем, что истинный смысл соотношения (3.20) отражает тот факт, что в природе объективно не существует состояний частицы с точно определенными значениями обеих переменных, x и px. Вместе с тем мы вынуждены, поскольку измерения проводятся с помощью макроскопических приборов, приписывать частицам не свойственные им классические переменные. Издержки такого подхода и выражают соотношения неопределенностей.

После того, как выяснилась необходимость описывать поведение частиц волновыми функциями, соотношения неопределенностей возникают естественным образом — как математическое следствие теории.

Считая соотношение неопределенностей (3.20) универсальным, оценим, как бы оно сказалось на движении макроскопического тела. Возьмем очень маленький шарик массы m 1 мг. Определим, например, с помощью микроскопа его положение с погрешностью x % 10–5 см (она обусловлена разрешающей способностью микроскопа). Тогда неопределенность скорости шарика v p/m % (h/ x)/m 10–19 см/с. Такая величина недоступна никакому измерению, а потому и отступление от классического описания совершенно несущественно. Другими словами, даже для такого маленького (но макроскопического) шарика понятие траектории применимо с высокой степенью точности.

Иначе ведет себя электрон в атоме. Грубая оценка показывает, что неопределенность скорости электрона, движущегося по боровской орбите атома водорода, сравнима с самой скоростью:v % v. При таком положении представление о движении электрона по классической орбите теряет всякий смысл. И вообще, при движении микрочастиц в очень малых областях пространства понятие траектории оказывается несостоятельным.

Вместе с тем, при определенных условиях движение даже микрочастиц может рассматриваться классически, т. е. как движение по траектории. Так происходит, например, при движении заряженных частиц в электромагнитных полях (в электрон- но-лучевых трубках, ускорителях и др.). Эти движения можно рассматривать классически, поскольку для них ограничения, обусловленные соотношением неопределенностей, пренебрежимо малы по сравнению с самими величинами (координатами и импульсом).

Опыт со щелью. Соотношение неопределенностей (3.20) проявляет себя при любой попытке точного измерения положения или импульса микрочастицы. И каждый раз мы приходим к «неутешительному» результату: уточнение положения частицы приводит к увеличению неопределенности импульса, и наоборот. В качестве иллюстрации такой ситуации рассмотрим следующий пример.

76 Глава 3

Попытаемся определить координату x свободно движущейся с импульсом p частицы, поставив на ее пути щель шириной b (рис. 3.9). До прохождения частицы через щель ее проекция

импульса px имеет точное значе-

ние: px 0. Это значит, что px0, но координата x частицы является совершенно неопределен-

щель, то в плоскости щели координата x будет зарегистрирована с неопределенностью x % b. При этом вследствие дифракции с наибольшей вероятностью частица будет двигаться в пределах угла 2 , где — угол, соответствующий первому дифракционному минимуму. Он определяется условием, при котором разность хода волн от обоих краев щели будет равна (это доказывается в волновой оптике):

bsin .

Врезультате дифракции возникает неопределенность значения px — проекции импульса, разброс которого

px % p sin .

Учитывая, что b % x и p 2 h/ , получим из двух предыдущих выражений:

x px % p 2 ,

что согласуется по порядку величины с (3.20).

Таким образом, попытка определить координату x частицы, действительно, привела к появлению неопределенности px в импульсе частицы.

Анализ многих ситуаций, связанных с измерениями, показывает, что измерения в квантовой области принципиально отличаются от классических измерений. В отличие от последних, в квантовой физике существует естественный предел точности измерений. Он в самой природе квантовых объектов и не может быть преодолен никаким совершенствованием приборов и методов измерений. Соотношение (3.20) и устанавливает один из та-

ких пределов. Взаимодействие между микрочастицей и макроскопическим измерительным прибором нельзя сделать сколь угодно малым. Измерение, например, координаты частицы неизбежно приводит к принципиально неустранимому и неконтролируемому искажению состояния микрочастицы, а значит и к неопределенности в значении импульса.

Некоторые выводы. Соотношение неопределенностей (3.20) является одним из фундаментальных положений квантовой теории. Одного этого соотношения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов, в частности:

1.Невозможно состояние, в котором частица находилась бы в состоянии покоя.

2.При рассмотрении движения квантового объекта необходимо во многих случаях отказаться от самого понятия классической траектории.

3.Часто теряет смысл деление полной энергии E частицы (как квантового объекта) на потенциальную U и кинетическую K. В самом деле, первая, т. е. U, зависит от координат, а вторая — от импульса. Эти же динамические переменные не могут иметь одновременно определенного значения.

Размер атома водорода. Прежде чем рассмотреть важный пример, относящийся к атому водорода, остановимся на вопросе, который часто вызывает недоумение. Пусть частица «заперта» в одномерной области размером l. При нахождении возможного значения минимальной энергии Eмин частицы мы обычно считаем, что импульс частицы по порядку величины равен его неопределенности, т. е. p p. На каком основании?

Чтобы понять, почему это так, представим себе, что частица в этой области имеет энергию Е > Емин. Тогда ее импульс может быть представлен как p ppq p. Теперь начнем мысленно уменьшать энергию Е, а значит и импульс pрq. При этом р не меняется, поскольку p % h/l согласно соотношению (3.20). Когда Е станет равной Емин, величина pрq обратится в нуль и останется только p. Эту величину и принимают за р. Теперь перейдем к атому водорода.

Оценим его размер и попытаемся понять, почему электрон не падает на ядро (как это можно объяснить с помощью соотношения неопределенностей).

Точное положение электрона в данном атоме запрещено принципом неопределенности: был бы бесконечно большой разброс в его импульсе. Поэтому для оценки наименьшей возможной энергии Eмин электрона в кулоновском поле ядра можно положить разброс расстояний электрона от ядра r % r иp % p. Тогда согласно (3.20) p % h/r, и энергия Е может быть представлена как

Значение r, при котором Е мин, можно найти, приравняв производную dE/dr к нулю:

Полученный результат полностью совпадает с боровским радиусом (2.23).

что также совпадает с энергией основного состояния атома водорода (2.25).

Разумеется, совпадение наших грубых оценок с точными значениями r и Е следует считать случайным. Важно лишь то, что получен верный порядок этих величин и что, основываясь на волновых представлениях, или принципе неопределенности, можно понять, почему атомный электрон не падает на ядро. Размер атома является результатом компромисса двух слагаемых энергии (3.22), имеющих противоположные знаки. Если увеличить отрицательное слагаемое (потенциальную энергию), уменьшив r, то увеличится кинетическая энергия, и наоборот.

Таким образом, соотношение неопределенностей проявляет себя в атоме подобно силам отталкивания на малых расстояниях. В результате электрон находится в среднем на таком расстоянии от ядра, на котором действие этих сил отталкивания компенсируется силой кулоновского притяжения.

Задачи

3.1.Волны де-Бройля. Какую энергию Е необходимо сообщить нерелятивистскому электрону, чтобы его дебройлевская длина волныуменьшилась в n раз?

Р е ш е н и е. Обозначим конечную дебройлевскую длину волны как . Имея в виду, что согласно (3.1) T 1/p T 1/K , запишем:

где K — первоначальная кинетическая энергия электрона. Отсюда

E K(n 2 1) 2 2 2 (n 2 1), m 2

где m — масса электрона.

3.2.Найти дебройлевскую длину волны протонов, если в однородном магнитном поле с индукцией В радиус кривизны их траектории — окружности — равен R.

Р е ш е н и е. Согласно (3.1) для этого надо сначала определить импульс протона. Воспользуемся основным уравнением динамики:

m v 2 evB. R

Отсюда p ReB, и искомая длина волны

2 h ReB.

3.3. Нерелятивистская частица массы m1 с кинетической энергией K1 налетает на покоящуюся частицу массы m2. Найти дебройлевскую

~

длину волны обеих частиц в системе их центра масс (Ц-системе).

Р е ш е н и е. Искомая длина волны согласно (3.1) определяется

~ ~ ~

как 2 h/p, где p — импульс каждой частицы в Ц-системе. На-

помним, что в Ц-системе импульсы обеих частиц равны по моду-