Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т5 Квантовая физика Основные законы. 2014, 256с

E электрона не только от n, но и от l. Иными словами, в данном случае вырождение по l снимается.

Исследование спектров ионов щелочных металлов показало, что момент импульса атомного остова (т. е. ядра и Z – 1 электронов) равен нулю. Следовательно, орбитальный момент атома щелочного металла оказывается равным моменту его внешнего электрона и определяется квантовым числом l (что и показано на рис. 6.3).

Правило отбора. Излучение (и поглощение) происходит в результате перехода внешнего электрона с одного уровня на другой. Однако не все переходы возможны. Возможны лишь те, при которых орбитальное квантовое число l внешнего электрона меняется на единицу:

Это означает, что разрешенными являются переходы лишь между s- и p-состояниями, между p- и d-состояниями и т. д. (см. рис. 6.3). Заметим еще, что главное квантовое число n может изменяться на любое целое число.

Пример. Определим, сколько спектральных линий будет испускать источник, состоящий из атомов лития, которые постоянно возбуждают на уровень 4s.

Согласно правилу отбора (6.21) таких переходов будет шесть (см. рис. 6.3), это:

4s&3 p, 4s&2 p, 3 p&3s, 3 p&2s, 3s&2 p, 2 p&2s.

С точки зрения квантовой теории правила отбора связаны с вероятностью перехода из одного квантового состояния в другое. Оказывается, вероятность переходов, не разрешенных правилами отбора, практически равна нулю.

Спектральные серии. С учетом правила отбора (6.21) легко понять, что в спектрах атомов лития наблюдаются следующие серии:

Здесь — частота испускаемой линии. Спектральная линия главной серии, соответствующая переходу 2s – 2p, является самой интенсивной. Эту линию называют резонансной.

Серии (6.22) записаны в символической форме. В явном виде их записывают как разности, двух соответствующих термов. Например, для главной серии лития:

Аналогично и для других серий. Заметим, что ридберговские поправки в пределах каждой серии практически постоянные, но меняются от серии к серии.

Тонкая структура спектральных линий. Исследование спектральных линий атомов щелочных металлов приборами с большой разрешающей способностью обнаружило, что эти линии являются двойными (дублетами), т. е. образуют тонкую структуру.

Спектральные линии, состоящие из нескольких компонент, называют мультиплетами. Число компонент в мультиплете различных атомов может быть равно двум (дублеты), трем (триплеты), четырем (квартеты) и т. д. В частности, спектральные линии могут быть и одиночными (синглеты).

Тонкая структура, т. е. расщепление спектральных линий, очевидно, вызвана расщеплением самих энергетических уровней (термов). Вместе с тем, это никак не следует из решения уравнения Шредингера. В чем же причина такого загадочного расщепления? Ответ на этот вопрос — в следующем параграфе.

§ 6.3. Спин электрона

Гипотеза спина. Тонкая структура спектральных линий, т. е. их расщепление, как было сказано в конце предыдущего параграфа, является следствием расщепления самих энергетических уровней. Это был первый экспериментальный факт, побудивший Гаудсмита и Уленбека (1925) выдвинуть гипотезу о наличии у электрона собственного момента, названного спином. В дальнейшем эта гипотеза была подтверждена и рядом других весьма убедительных экспериментальных фактов.

Гипотеза спина сразу открыла возможность простого объяснения большого числа экспериментальных фактов, некоторые из которых мы рассмотрим далее.

Спин — существенно квантовая величина, не имеющая классического аналога. Он ничего общего не имеет с представлением о вращающейся частице, как первоначально предполагали (отсюда и название).

Спин характеризует внутреннее свойство электрона подобно массе и заряду. Выяснилось, что спин является свойством одновременно квантовым и релятивистским*. В отличие от орбитального момента, спин всегда сохраняется (как внутреннее свойство).

Спин электрона определяется по общим законам квантовой теории. Аналогично орбитальному моменту, определенные значения в одном и том же состоянии могут иметь квадрат спина M 2s (а значит и модуль спина Ms) и одна из его проекций Msz на произвольно выбранную ось Z:

Значение s 1/2 получено из следующих соображений. Аналогично орбитальному моменту число возможных значений проекции ms, соответствующих данному значению s, равно 2s 1. Экспериментально было установлено, что это число для электрона равно двум, т. е. 2s 1 2, откуда s 1/2.

Отметим, что спином обладает подавляющее большинство частиц. Например, у протона и нейтрона s 1/2, а у фотона s 1.

Поскольку спин электрона s 1/2, а его проекции ms равны 1/2 и –1/2, то становится понятным, почему кратность вырождения n-го энергетического уровня атома водорода равна не n2, а 2n2. Впрочем, это скорее кратность вырождения не n-го уровня, а суммарная кратность вырождения двух подуровней, соответствующих квантовому числу n.

*Дирак (1928) показал, что спин электрона автоматически содержится в его теории электрона, основанной на релятивистском волновом уравнении.

Полный момент импульса электрона. С механическими моментами (орбитальным и спиновым) связаны магнитные моменты. В результате их взаимодействия происходит сложение моментов — возникает полный момент импульса электрона. Символически это записывают так: Mj Ml Ms, где j — квантовое число полного момента.

Правила сложения угловых моментов в квантовой теории не зависят от того, являются ли моменты орбитальными или спиновыми. Поэтому полный момент электрона Mj определяется формулой, аналогичной формулам для орбитального и спинового моментов, а именно

Таким образом, квантовое число j является полуцелым, поскольку l — целое, причем, если l 0, то j s = 1/2. Кроме того, j всегда положительно.

В связи со знаками 1 перед спином s в (6.26) условно принято говорить, что спиновый момент либо «сонаправлен» с орбитальным моментом (знак ), либо они взаимно противоположны «по направлению» (знак –).

Возможные проекции момента (6.26) на ось Z определяются как

т. е. при данном j возможны 2j 1 квантовых состояний, отличающихся значениями mj. Например, при l 1

Если же l 0, то весь момент импульса чисто спиновый.

Общие результаты. Выпишем собственные значения угловых моментов (орбитального, спинового и полного) и их проекций на ось Z в одной таблице (табл. 6.3), чтобы обратить внимание на их однотипность и облегчить запоминание.

Итак, каждый ряд уровней, кроме S-ряда, имеет дублетную структуру. Уровни (термы) принято обозначать символом, определяющим значения квантовых чисел l, s и j, т. е. по существу полностью «структуру» углового момента электрона. Символически это записывают так:

где L — символ состояния, определяемого квантовым числом l — в соответствии с (6.10), только большими латинскими буквами: S, P, D и т. д.; n — так называемая мультиплетность, она связана со спином: n 2s 1.

Выпишем несколько первых рядов термов атома щелочных металлов:

Для атомов щелочных металлов дублетное расщепление очень мало (по сравнению с расстояниями между «основными» уровнями).

Величина тонкого расщепления уровней для легких атомов не более 10–5 эВ. Для тяжелых же может достигать десятых долей эВ (это уже трудно назвать тонким расщеплением). Для сравнения приведем разность между двумя уровнями на рис. 6.3, которая равна 2 эВ.

Правила отбора для j. Для квантового числа j действует правило отбора, согласно которому возможны только те переходы между уровнями, при которых

Тонкая структура спектральных линий была обнаружена экспериментально и у атома водорода. Но расщепление уровней атома водорода оказалось слишком мало. и поэтому чаще всего им просто пренебрегают (за исключением очень тонких исследований).

Закономерности тонкой структуры. Поясним происхождение тонкой структуры спектральных линий, например, лития, в трех случаях.

Таким образом, тонкая структура уровней и спектральных линий атомов щелочных металлов обусловлены спином электрона, или, что то же, спин-орбитальным взаимодействием.

В заключение рассмотрим пример, с решением которого нередко возникают затруднения.

Пример. У атомов некоторого щелочного металла головная линия резкой серии с длиной волны представляет собой дублет, разность длин волн которого . Найдем величину расщепления в частотах следующих линий этой серии.

Поскольку все линии резкой серии обусловлены переходом с синглетных s-уровней на один и тот же расщепленный нижний p-уровень, то разность энергий переходов будет одинакова в каждом дублете. Значит одинаковым будет и расщепление . В нашем случае I , поэтому, учитывая связь

2 c/ , можно записать:

2 c .2

§ 6.4. Механический момент многоэлектронного атома

Сложение угловых моментов. Как показывает расчет (который мы опускаем), суммарный орбитальный момент системы определяется выражением

где L — орбитальное квантовое число результирующего момента. В случае системы из двух частиц с орбитальными моментами l1 и l2 квантовое число L — целое, положительное — может иметь следующие значения:

Отсюда следует, что L (а значит и результирующий момент) может иметь 2l1 1 или 2l2 1 различных значений (нужно взять меньшее из двух значений l). Это легко проверить; например, для l1 2 l2 3 получаем 2 2 1 5 разных значений L: 5, 4, 3, 2, 1.

Если система состоит не из двух, а из многих частиц, то квантовое число L, определяющее результирующий орбитальный момент, находится путем последовательного применения правила (6.35), но мы не будем на этом останавливаться, поскольку в дальнейшем это не понадобится.

Проекция результирующего орбитального момента на неко-

Подобным же образом определяется и суммарный спиновый

где квантовое число S результирующего спинового момента может быть целым или полуцелым — в зависимости от числа частиц — четного или нечетного. Если число N частиц четное, то S Ns, Ns – 1, ..., 0, где s 1/2, т. е. в этом случае S — целые числа. Например, при N 4 число S может быть равно 2, 1, 0.

Если же число N частиц нечетное, то S принимает все полуцелые значения от Ns до s, где s 1/2. Например, при N 5 возможные значения S равны 5/2, 3/2 и 1/2.

Типы связи. В многоэлектронном атоме каждый электрон можно характеризовать орбитальным и спиновым моментами. Возникает естественный вопрос: чему равен полный механический момент атома? Ответ на этот вопрос зависит от того, какие моменты взаимодействуют друг с другом сильнее: орбитальные, спиновые или спин-орбитальные.

Оказывается, наиболее важной и распространенной является так называемая нормальная связь, или связь Рессель-Саун- дерса. Эта связь заключается в том, что орбитальные моменты электронов взаимодействуют между собой сильнее, чем со спиновыми моментами. Аналогично ведут себя и спиновые моменты. Вследствие этого все орбитальные моменты складываются в результирующий орбитальный момент ML, а спиновые — в результирующий спиновый момент MS. А затем взаимодействие ML и MS определяет суммарный момент MJ атома:

где квантовое число J полного момента может иметь одно из следующих значений:

J L S, L S – 1, …, |L – S| .

Значит, J будет целым, если S целое ( т. е. при четном числе электронов) или полуцелым, если S полуцелое (при нечетном числе электронов). Так например,

LS Возможные значения J

23/2 7/2, 5/2, 3/2, 1/2

Такой вид связи, как правило, присущ легким и не слишком тяжелым атомам.

Однако нормальная связь является не единственно возможной. Это только один из крайних случаев связи. Другой край-