Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т5 Квантовая физика Основные законы. 2014, 256с

Пример. Найдем относительное число N/N частиц, рассеянных в интервале углов от 1 до 2. Остальное предполагается заданным.

Величина N/N пропорциональна согласно (2.9) площади кольца, внутренний и внешний радиусы которого равны b1 и b2, т. е.

Значения же b1 и b2 однозначно связаны с углами 1 и 2 формулой (2.1) или (2.2). Заменив параметр b в (*) выражением (2.2), получим:

Вот и весь расчет. Практически так и следует поступать.

Проверка формулы Резерфорда. Формула (2.7) была подтверждена экспериментально. В качестве налетающих частиц использовали -частицы (их заряд q 2e) от радиоактивного источника. Кинетическая энергия -частиц была порядка нескольких МэВ.

Если зафиксировать телесный угол d , в котором подсчитывают рассеянные -частицы, и менять при этом угол (рис. 2.3), то из формулы (2.7) следует, что

Опыты, подтверждающие формулу Резерфорда, могут рассматриваться как косвенное доказательство справедливости закона Кулона на весьма малых расстояниях (от 10–12 до 10–9 см).

Кроме того, они свидетельствуют в пользу предположения, что масса атома практически сосредоточена в очень малой его области — в ядре, размеры которого не превышают 10–12 см.

Пример. Найдем расстояние, на которое приблизится -частица к неподвижному ядру атома золота, двигаясь точно по направлению к его центру. Порядковый номер атома золота Z 79 и кинетическая энергия налетающей -частицы вдали от ядра K 5,7 МэВ.

В момент остановки -частицы ее кинетическая энергия целиком переходит в потенциальную: K 2Ze2/rмин. Отсюда

Из вышесказанного не следует, что закон Кулона справедлив на любых расстояниях между налетающей частицей и ядром. Опыты по рассеянию, например, протонов, ускоренных ускорителем, показали, что при достаточно больших энергиях наблюдаются резкие отступления от закона Кулона, когда прицельный параметр становится менее 10–12 cм. На таких расстояниях проявляют свое действие ядерные силы притяжения, значительно превосходящие кулоновские силы отталкивания.

Итак, результаты опытов по рассеянию -частиц говорят в пользу ядерной (планетарной) модели атома, предложенной Резерфордом. Однако эта модель оказалась в резком противоречии с законами классической электродинамики.

Предположение, что электроны движутся вокруг ядра по траекториям, подобно планетам вокруг Солнца, наталкивается на непреодолимую (с точки зрения классики) трудность. Двигаясь по искривленным траекториям, электрон испытывает ускорения, а значит неизбежно должен излучать электромагнитные волны. Этот процесс сопровождается потерей энергии, в результате чего электрон должен в конечном счете упасть на ядро. Время жизни такого атома оказывается порядка 10–11 с (см. задачу 2.5). Этот результат красноречиво говорит о степени неустойчивости рассмотренной модели атома.

§2.2. Спектральные закономерности

Впервую очередь нас будут интересовать спектры, обусловленные излучением невзаимодействующих друг с другом атомов. Эти спектры состоят из отдельных узких спектральных линий, и их называют линейчатыми.

Наличие многих спектральных линий указывает на сложность внутреннего строения атома. Изучение атомных спектров послужило ключом к познанию внутренней структуры атомов. Прежде всего было замечено, что спектральные линии расположены не беспорядочно, а образуют серии линий. Изучая линейчатый спектр атомарного водорода, Бальмер (1885) установил следующую закономерность. В современных обозначениях она выглядит так*:

где — циклическая частота, соответствующая каждой спектральной линии ( 2 c/ ), R — постоянная Ридберга:

Формулу (2.12) называют формулой Бальмера, а соответствующую серию спектральных линий — се- рией Бальмера (рис. 2.4). Основные ли- нии этой серии находятся в видимой части спектра.

Дальнейшие исследования спектра

Рис. 2.4

атомарного водорода показали, что имеется еще несколько серий. В ультрафиолетовой части спек-

*В спектроскопии принято характеризовать спектральные линии не частотой, а

так называемым волновым числом n:

1

=2 c см–1,

где — длина волны. Формула Бальмера, написанная для волнового числа n, имеет такой же вид, как (2.12):

где постоянная Ридберга R имеет значение

R = R/2 c = 109737,31 см–1.

§ 2.3. Постулаты Бора. Опыты Франка и Герца

Постулаты Бора. Абсолютная неустойчивость планетарной модели Резерфорда и вместе с тем удивительная закономерность атомных спектров, и в частности их дискретность, привели Н. Бора к необходимости сформулировать (1913) два важнейших постулата квантовой физики:

1.Атом может длительное время* находиться только в определенных, так называемых стационарных состояниях, которые характеризуются дискретными значениями энергии E1, E2, E3, ...

Вэтих состояниях, вопреки классической электродинамике, атом не излучает.

2.При переходе атома из стационарного состояния с боль-

шей энергией E2 в стационарное состояние с меньшей энергией E1 происходит излучение кванта света (фотона) с энергией h :

Такое же соотношение выполняется и в случае поглощения, когда падающий фотон переводит атом с низшего энергетического уровня E1 на более высокий E2, а сам исчезает.

Соотношение (2.17) называют правилом частот Бора. Заметим, что переходы атома на более высокие энергетические уровни могут быть обусловлены и столкновением с другими атомами.

Таким образом, атом переходит из одного стационарного состояния в другое скачками (их называют квантовыми). Что происходит с атомом в процессе перехода — этот вопрос в теории Бора остается открытым.

Опыты Франка и Герца (1913). Эти опыты дали прямое доказательство дискретности атомных состояний. Идея опытов заключается в следующем. При неупругих столкновениях электрона с атомом происходит передача энергии от электрона атому. Если внутренняя энергия атома изменяется непрерыв-

*Это время порядка 10–8 с. В макроскопическом масштабе такое время крайне мало. Однако в атомной шкале времени оно весьма велико, поскольку на мно-

го порядков превосходит период обращения электрона вокруг ядра, например, атома водорода, равный порядка 10–16 с.

но, то атому может быть передана любая порция энергии. Если же состояния атома дискретны, то его внутренняя энергия при столкновении с электроном должна изменяться также дискретно — на значения, равные разности внутренней энергии атома в стационарных состояниях.

Следовательно, при неупругом столкновении электрон может передать атому лишь определенные порции энергии. Измеряя их, можно определить значения внутренних энергий стационарных состояний атома.

Это и предстояло проверить экспериментально с помощью установки, схема которой показана на рис. 2.5. В баллоне с парами ртути под давлением порядка 1 мм рт. ст. (% 130 Па) имелись три электрода: K — катод, С — сетка и A — анод. Элек- троны, испускаемые горячим катодом вследствие термоэлектронной эмиссии, ускорялись разностью потенциалов V

между катодом и сеткой. Величину V можно было плавно менять. Между сет-

кой и анодом создавалось слабое тормозящее поле с разностью потенциалов около 0,5 В.

Таким образом, если какой-то электрон проходит сквозь сетку с энергией, меньшей 0,5 эВ, то он не долетит до анода. Только те электроны, энергия которых при прохождении сетки больше 0,5 эВ, попадут на анод, образуя анодный ток I, доступный измерению.

В опытах (см. рис. 2.5) исследовалась зависимость анодного тока I (гальванометром G) от ускоряющего напряжения V (вольтметром V). Полученные результаты представлены на рис. 2.6.

*Заметим, что кривая I(V) на рис. 2.6 имеет такой вид лишь в случае, если отсутствует внешняя контактная разность потенциалов между катодом и сеткой. Наличие же приводит к смещению кривой I(V) влево или вправо.

Относительное же расположение максимумов зависит только от рода газа (атомов). Величину можно исключить, если энергию E1 измерять по «расстоянию» между соседними максимумами, что обычно и делают.

Такой вид кривой объясняется тем, что атомы действительно могут поглощать лишь дискретные порции энергии, равные 4,9 эВ.

При энергии электронов, меньшей 4,9 эВ, их столкновения с атомами ртути могут быть только упругими (без изменения внутренней энергии атомов), и электроны достигают сетки с энергией, достаточной для преодоления тормозящей разности потенциалов между сеткой и анодом. Когда же ускоряющее напряжение V становится равным 4,9 В, электроны начинают испытывать вблизи сетки неупругие столкновения, отдавая атомам ртути всю энергию, и уже не смогут преодолеть тормозящую разность потенциалов в пространстве за сеткой. Значит, на анод А могут попасть только те электроны, которые не испытали неупругого столкновения. Поэтому, начиная с ускоряющего напряжения 4,9 В, анодный ток I будет уменьшаться.

При дальнейшем росте ускоряющего напряжения достаточное число электронов после неупругого столкновения успевает приобрести энергию, необходимую для преодоления тормозящего поля за сеткой. Начинается новое возрастание силы тока I. Когда ускоряющее напряжение увеличится до 9,8 В, электроны после одного неупругого столкновения достигают сетки с энергией 4,9 эВ, достаточной для второго неупругого столкновения. При втором неупругом столкновении электроны теряют всю свою энергию и не достигают анода. Поэтому анодный ток I начинает опять уменьшаться (второй максимум на рис. 2.6). Аналогично объясняются и последующие максимумы.

Из результатов опытов следует, что разница внутренних энергий основного состояния атома ртути и ближайшего возбужденного состояния равна 4,9 эВ, что и доказывает дискретность внутренней энергии атома.

Аналогичные опыты были проведены в дальнейшем с атомами других газов. И для них были получены характерные разности потенциалов, их называют резонансными потенциалами или первыми потенциалами возбуждения. Резонансный потенциал соответствует переходу атома с основного состояния в ближайшее возбужденное. Для обнаружения более высоких возбужденных состояний была использована более совершенная методика, однако принцип исследования оставался тем же.

48 Глава 2

где т —масса электрона. Отсюда кинетическая энергия электрона

22r

иполная энергия электрона в кулоновском поле ядра

Согласно правилу квантования (2.18), rmv nh, откуда

После подстановки (2.22) в (2.19) получим выражение для радиуса n-й стационарной орбиты:

Радиус первой стационарной орбиты электрона в атоме водорода (n 1, Z 1) равен

Его называют боровским радиусом.

Энергия En электрона на n-й стационарной орбите определяется формулой (2.21), в которой под r надо понимать (2.23). И мы приходим к следующему выражению для Еn:

Эта формула описывает уровни энергии стационарных состояний электрона в водородоподобной системе. Для атома водорода схема энергетических уровней, соответствующих (2.25), показана на рис. 2.7. При n & уровни энергии сгущаются к своему предельному значению E 0.

Состояние атома с наименьшей энергией (n 1) называют основным. Для атома водорода основному состоянию соответствует энергия E1 –13,53 эВ. Эта энергия (по модулю) является

вим (2.23) с учетом того, что в на-

шем случае Z 1 и n 1. В результате получим:

v1 e2/h 2,2 · 106 м/с.

Спектральные серии водородоподобных систем. Согласно второму постулату Бора (2.17), определяющему энергию фотонов при переходе системы из одного стационарного состояния в другое, и формуле (2.24) имеем:

Таким образом, мы пришли к обобщенной формуле Бальмера (2.16), установив при этом, от каких величин зависит постоянная Ридберга: