Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т5 Квантовая физика Основные законы. 2014, 256с

где 2 hc. Разделив второе уравнение на первое, получим:

n A 0 ,

A 0

откуда

1.3.Ток, возникающий в цепи вакуумного фотоэлемента при освещении цинкового электрода электромагнитным излучением с длиной волны 262 нм, прекращается, когда внешняя разность потенциалов (показания вольтметра) достигает значения V1 –1,5 В. Имея в

виду, что работа выхода электрона с поверхности цинка А 3,74 эВ, определить значение и полярность внешней контактной разности потенциалов между катодом и анодом данного фотоэлемента.

Р е ш е н и е. Из уравнений (1.3) и (1.5) следует:

h A + eVз = A + e(V2 – V1),

V2 – 0,5 В.

1.4.Коротковолновая граница рентгеновского спектра. После увеличения напряжения на рентгеновской трубке в 2,0 раза перво-

начальная длина волны 0 коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра изменилась на 50 пм. Найти 0. Р е ш е н и е. В данном случае «изменилась на » — это значит уменьшилась на такую величину. Поэтому согласно (1.8) можно записать:

где V1 и V2 — напряжения на рентгеновской трубке, a — постоянная.

Разделив второе равенство на первое, получим:

1.5.Метод изохромат. В сплошном рентгеновском спектре интенсивность I излучения с длиной волны 0 50 пм зависит следующим образом от напряжения V на рентгеновской трубке:

Вычислить с помощью соответствующего графика постоянную Планка h.

Р е ш е н и е. Изобразим график зависимости I(V), экстраполируя его к нулю, как показано на рис. 1.15, находим V0 25 кВ. При этом напряжении излучение с длиной волны 0 становится коротковолновой границей сплошного рентгеновского спектра. Значит, согласно (1.9)

Рис. 1.15 h 0eV0 1,06 · 10–27 эрг · с.

2 c

1.6. Комптоновские электроны. Фотон с энергией рассеялся под углом на покоившемся свободном электроне. Определить угол , под которым вылетел электрон отдачи относительно направления налетевшего фотона.

Р е ш е н и е. Из треугольника импульсов (рис. 1.16), выражающего собой за- Рис. 1.16 кон сохранения импульса, видно, что

где учтено, что C/ 2 h mc /mc2.

1.7.Эффект Комптона. При облучении вещества рентгеновским излучением с некоторой длиной волны обнаружили, что максимальная кинетическая энергия релятивистских электронов отдачи равна Km. Определить .

Р е ш е н и е. В соответствии с законами сохранения энергии и импульса имеем

где и — энергия фотона до и после столкновения с электро-

Умножив все слагаемые второго из уравнений (1) на с и сложив после этого полученное выражение с первым уравнением, найдем

В релятивистской динамике связь между импульсом и кинетической энергией электрона легко получить с помощью инвариантно-

1.8.Обратный эффект Комптона. При столкновении с релятивистским электроном фотон рассеялся на угол , а электрон остановился. Найти комптоновское смещение длины волны рассеянного фотона.

Р е ш е н и е. Согласно закону сохранения импульса

hk p hk ,

где k и k — волновые векторы первоначального и рассеянного фотонов, р — импульс электрона (рис. 1.18). Из

этого рисунка согласно теореме косинусов имеем

Рис. 1.18

где учтено, что k /c, k /c; и — энергия фотона до и после рассеяния.

На основании закона сохранения энергии запишем

+ E + mc2,

где E — полная энергия электрона, т — его масса покоя. Из этого равенства найдем E2:

Теперь воспользуемся инвариантностью выражения E2 – p2c2, которое равно m2c4, а именно, вычтем (1) из (2). В результате после сокращений получим:

34 Глава 1

Из последнего выражения находим

2 (1 cos ) 0, mc

т. е. длина волны рассеянного фотона становится меньше и его энергия увеличивается.

1.9.Давление света. Плоский световой поток интенсивности I, Вт/м2 освещает половину зеркальной сферической поверхности радиуса R. Найти с помощью корпускулярных представлений силу светового давления, испытываемую сферой.

Р е ш е н и е. Для простоты будем считать падающий свет монохроматическим с частотой . Как это отразится на окончательном результате, мы увидим.

Сначала найдем силу dF, действующую на элементарное кольцо dS (рис. 1.19) в направлении оси X. При зеркальном отражении каждый фотон передает поверхности импульс px (рис. 1.20):

px p – px p – p cos( – 2 ) p (1 cos2 2р соs2 , где р h /с.

Число фотонов, падающих ежесекундно на элементарное кольцо dS (см. рис. 1.19), равно dN (I/h ) dS cos , где dS 2 R sin Rd . Тогда

dF px dN 4 R2(I/c) cos3 sin d .

Заметим, что частота света сократилась, значит она не играет здесь роли.

Проинтегрировав последнее выражение по от 0 до /2, получим

F R2I/c.

Интересно, что полученный результат в данном случае такой же, как и в случае абсолютно поглощающей поверхности. Кроме того, он в точности совпадает с результатом, полученным с помощью классических волновых представлений.

1.10.Эффект Доплера. Возбужденный атом, двигавшийся с нерелятивистской скоростью v, испустил фотон под углом к первонача-

льному направлению движения атома. Найти с помощью законов сохранения энергии и импульса относительное смещение частоты фотона, обусловленной отдачей атома.

Р е ш е н и е. Пусть «закрепленный» неподвижный атом при пе-

реходе из возбужденного состояния в нормальное испускает фотон с энергией h . Разность энергий указанных состояний атома равна h вне зависимости от того, покоится атом или движется.

При испускании фотона свободно движущимся атомом импульс атома изменяется, поскольку испущенный фотон обладает импульсом. Изменяется и кинетическая энергия атома.

Согласно законам сохранения энергии и импульса (рис. 1.21),

где E* — энергия возбуждения атома, E* h , а pф h /c. Исключив из этих двух уравнений p 2, получим:

Учитывая, что энергия фотона h I 2mc2 и перед скобкой можно заменить на (их разность весьма мала), приходим к следующему результату:

v cos ,

c

где – . Полученная формула совпадает с обычным нерелятивистским выражением для эффекта Доплера.

где q и q0 — заряды налетающей частицы и ядра, b — прицельный параметр, т. е. расстояние от ядра до первоначального направления движения налетающей частицы, когда она находится вдали от ядра (см. рис. 2.1), K — кинетическая энергия частицы вдали от ядра.

Из формулы (2.1) видно, что чем меньше прицельный параметр b, тем больше угол отклонения .

Вывод формулы (2.1) приведен в Приложении.

Формула Резерфорда. Непосредственная проверка формулы (2.1) экспериментально невозможна, поскольку мы не можем измерить прицельный параметр b налетающей частицы. Однако, следуя Резерфорду, мы можем положить формулу (2.1) в основу для следующих расчетов.

Рассмотрим тонкий слой рассеивающего вещества, настолько тонкий (фольга), чтобы каждая налетающая частица пучка претерпевала лишь однократное отклонение. Для отклонения в интервале углов ( , d ) прицельный параметр должен быть заключен в интервале (b, b db). При этом значения d и db будут связаны определенным соотношением. Чтобы найти его, перепишем сначала (2.1) в виде

а затем возьмем дифференциал от этого выражения

Знак минус в этом выражении обусловлен тем, что знаки db и d взаимно противоположны. В дальнейшем существенным будет лишь модуль величин db и d , поэтому знак минус в (2.3) мы не будем учитывать.

Пусть площадь поперечного сечения узкого пучка налетающих частиц равна S. Тогда число ядер рассеивающего тон-

38 Глава 2

кого слоя будет равно nS, где п — число ядер (атомов) в расчете на единицу поверхности. При этом относительное число частиц, имеющих прицельный параметр b в интервале (b, b + db) и, значит, рассеянных в

где dS — суммарная площадь колец в сечении S пучка, dN —

Подставив в (2.4) выражения для b и db из (2.2) и (2.3), по-

Умножим числитель и знаменатель правой части этого ра-

где выражение 2 sin d — это телесный угол d , в пределах которого заключены углы рассеяния ( , d ). Поэтому (2.6) можно переписать так:

Это и есть формула Резерфорда. Она определяет относительное число частиц, рассеянных в телесном угле d под углом к первоначальному направлению их движения. Напомним, что в этой формуле n — число ядер на единицу поверхности рассеивающего слоя (фольги).

Если нас интересует относительное число N/N частиц, рассеянных в конечном интервале углов от 1 до 2, то выражение (2.7) надо проинтегрировать, учитывая, что d2 sin d . При этом следует иметь в виду, что для малых углов рассеяния (приблизительно меньших 3!) формула Резерфорда не применима. Это связано с тем, что очень малым углам соответствуют большие значения прицельного параметра, выходящие за пределы атома, где сила уже не имеет кулоновского характера.

Заметим, что вопрос о нахождении относительного числа частиц, рассеянных в конечном интервале углов , может быть решен значительно проще (без интегрирования). Как именно, показано в нижеследующем примере.

Эффективное сечение. Формулу Резерфорда (2.7) можно представить в несколько ином виде, если ввести понятие дифференциального сечения d#, равного площади кольца радиусом b и шириной db (см. рис. 2.2). Имея прицельные параметры в интервале (b, b db), налетающие частицы отклоняются ядрами согласно (2.1) на углы в интервале ( , d ). Поскольку

формулу (2.7) можно представить так:

Таким образом, формула (2.9) означает, что относительное число частиц, рассеянных в интервале углов ( , d ), равно произведению количества ядер на единицу поверхности фольги (n) на соответствующее дифференциальное сечение (2.10).