Иродов И.Е. Общая физика (5 т.) / Иродов. т5 Квантовая физика Основные законы. 2014, 256с

откуда Е 7h2/m.

Учитывая (2), находим из (1), что

U(x) 272 2 x2. m

4.10.Прохождение частицы через порог. Частица массы т движется

слева направо в потенциальном поле (рис. 4.15), которое в точке x 0 испытывает скачок U0. При х < 0

Таким образом, искомый коэффициент с учетом того, что k1 I k2, можно записать так:

(здесь мы пренебрегли величиной k1/k2 в квадрате).

Отсюда следует (чисто квантовый эффект), что чем меньше Е, тем ближе R к единице. С классической точки зрения это в принципе невозможно.

Глава 5

Основы квантовой теории

§5.1. Операторы физических величин

Впредыдущей главе было показано, что состояние кванто-

вой частицы определяется не координатами и импульсом, а зада- нием /-функции, вид которой зависит от конкретного потенциального поля. Кроме того, как выяснилось, /-функция, описыва-

ющая сама по себе распределение по координатам, определяет также распределение по импульсам и другим динамическим характеристикам частицы, таким как кинетическая энергия,

момент импульса и др.

Таким образом, /-функция полностью определяет не только «положение» частицы, но и все ее динамические характеристи-

ки. Надо только знать рецепты, с помощью которых можно «извлечь» интересующую нас информацию из /-функции. К

решению этой задачи мы и приступаем.

Средние значения физических величин. Понятие среднего значения различных физических величин является весьма важным в квантовой теории. Рассмотрим этот вопрос на конкретном примере — определим среднее значение координаты x частицы, если известна ее /-функция, которую мы ради простоты будем считать функцией только одной пространственной координаты х.

Мы уже знаем, что |/(x)|2 или /(x) *(x) является плотностью вероятности найти частицу в окрестности координаты х. Тогда вероятность местонахождения частицы в интервале (х, х + dх) есть dР = //*dx, и среднее значение х определяется как

где интегрирование проводится по интересующей нас области. При этом предполагается, что /-функция является нормированной в (5.1). т. е. удовлетворяет условию (4.3):

// 0 dx 1.

другом (коммутирующие операторы). В противном случае операторы некоммутирующие. Пример некоммутирующих операторов — это x и/ x. В самом деле,

Следовательно,

x x − x x.

Сложение и умножение операторов производится по обычным алгебраическим правилам сложения и умножения чисел. Отличие лишь в том, что при умножении операторов не всегда можно переставлять порядок операторов-сомножителей: это зависит от того, коммутируют они или нет.

Именно с линейностью операторов связан принцип суперпозиции состояний.

§ 5.2. Основные постулаты квантовой теории

Общее утверждение квантовой теории заключается в том, что среднее значение любой физической величины Q находится по формуле

где — оператор физической величины .

Q Q

Сопоставив (5.5) с (5.4), приходим к выводу, что оператора-

Общее правило, позволяющее находить операторы других физических величин, таково:

формулы классической физики для связи между величинами в квантовой теории следует рассматривать как формулы, связывающие операторы этих величин.

Так, например, связь между квадратом импульса и квадратами его проекций в классической механике дается формулой

p2 px2 py2 pz2 .

Поэтому оператор квадрата импульса

и оператор полной энергии частицы — гамильтониан (его об-

ние значения pp2q, pKq и pЕq по формуле (5.5), если известна /-функция частицы.

Пример. Найдем среднее значение кинетической анергии pКq частицы

в состоянии /(x) 1 eikx , k p/h. Функция /(x) нормирова-

2l

на в интервале –l < х < l, вне этого интервала /(х) 0.

Полученное равенство не эквивалентно Е K U. Действительно, в силу соотношения неопределенностей величины K и U не могут одновременно иметь определенные значения, поскольку K зависит от импульса р, а U — от координаты х. Формула (5.13) показывает, однако, что классическая связь сохраняется между средними значениями E, K и U.

Критерий наличия распределения. Установим связь между средним значением некоторой величины Q и средним значением его квадрата Q2, т. е. pQq и pQ2q. Известно, что конкретное значение Q может быть представлено как

Здесь pQq и pQq2 — это просто числа. Их средние значения равны им самим. Среднее же 82pQq Q 0, поскольку p Qq 0. Отсюда следует, что

Среднее значение положительной величины ( Q)2 не может быть отрицательным и обращается в нуль в единственном случае, когда всеQ 0, т. е. когда нет никакого распределения, и наша величина Q имеет единственное значение (точно определена).

Формула (5.15) выражает собой критерий, позволяющий в каждом конкретном случае проверить, имеет ли интересующая нас величина распределение или имеет единственное значение. Для этого достаточно сравнить pQ2q с pQq2.

Собственные состояния. В предыдущей главе мы решали задачу о нахождении /-функций частицы в состояниях, где полная энергия имеет вполне определенные значения (в этом заключается суть квантования). Такие состояния и называют собственными.

Одним из основных постулатов квантовой теории является утверждение, что состояние, в котором физическая величина Q имеет определенное значение, описывается /-функцией, являющейся решением уравнения

где — оператор физической величины Q.

Q

Убедимся, что это уравнение правильно решает поставленную задачу. Для этого найдем среднее значение Q в состоянии, которое описывается /-функцией, удовлетворяющей уравнению (5.16):

При нахождении 8Q9 мы заменили в подынтегральном выраже-

нии / на в соответствии с (5.16) и учли условие нормировки

Q Q

/-функции. Полученный результат очевиден, поскольку других значений Q в этом состоянии нет.

Таким образом, /-функции, являющиеся решением уравнения (5.16), действительно описывают собственные состояния.

Уравнения (5.16), вообще говоря, являются уравнениями в частных производных. Согласно математике, для однозначного решения таких уравнений нужны дополнительные ограничения, например, граничные и начальные условия.

Условия же, которые накладывает квантовая теория на решения уравнения (5.16), имеют несколько иной характер: физический смысл могут иметь лишь такие решения, которые всюду конечные, однозначные, непрерывные и гладкие. Эти условия, как уже говорилось, называют естественными или

стандартными.

Пример. Найдем с помощью уравнения (5.16) /-функцию состояния, в котором проекция импульса на ось X имеет определенное значение рx.

Для этого подставим в (5.16) в качестве оператора оператор

Q

px (5.6). Тогда

/

i x px /.

Этому уравнению и всем необходимым условиям удовлетворяет функция

/ eikx, где k рx/h,

которая является координатной частью плоской волны де-Бройля.

118 Глава 5

Функции, являющиеся решением уравнения (5.16) и удовлетворяющие естественным условиям, называют собственны-

оператора . Те значения , при которых такие

ми функциями Q Q

решения существуют, называют собственными значениями физической величины Q. При этом набор собственных значений

для оператора определяет значения , которые могут быть на-

Q Q

йдены из опыта при измерении данной физической величины. Набор собственных значений физической величины Q иног-

да оказывается непрерывным, а иногда дискретным. Опыт показывает, что в последнем случае измеренные значения Q действительно оказываются дискретными и совпадают с собственными значениями Q. Примером дискретности в микромире являются оптические спектры атомов, которые состоят из ряда отдельных тонких линий.

Уравнение (5.16) является обобщением правила квантования энергии, рассмотренного в предыдущей главе, на случай любых физических величин. Чтобы убедиться в этом, подста-

Это уравнение Шредингера (4.3) для стационарных состояний. Поэтому сокращенно его можно записать в символической форме

отличающейся от (5.16) только обозначениями.

§ 5.3. Квантование момента импульса

Момент импульса. Момент импульса М является одной из важнейших характеристик движения. Его значение связано с тем, что М сохраняется, если система изолирована или движется в центральном силовом поле. Однако в квантовой теории момент импульса существенно отличается от классического. А именно, модуль момента импульса может быть задан сколь угодно точно только с одной из проекций, например, Мz. Другие две проекции оказываются полностью неопределенными.

Наглядно подобную ситуацию можно попытаться представить так: вектор M как-то

«размазан» по образующим конуса, ось которого совпадает с направлением координатной

оси Z (рис. 5.1). В этом случае вполне определенное значение имеет лишь проекция Mz.

Другие две проекции, Мx и My, оказываются полностью неопределенными.

Говоря в дальнейшем о «векторе» момента, мы будем иметь

ввиду именно такой квантовый смысл этой величины.

Вэтой главе мы ограничимся рассмотрением момента для одного электрона. В дальнейшем же по мере усложнения системы выясним, как это отразится на моменте системы (§ 6.4).

Модуль момента импульса. Начнем с квадрата момента. Согласно (5.13) для этого необходимо решить уравнение

Оператор 2 достаточно сложный, и решение этого уравне-

M

ния является очень громоздким. Поэтому мы ограничимся приведением окончательных результатов, причем только для собственных значений данного оператора:

где l — так называемое орбитальное (или азимутальное) квантовое число. Отсюда модуль момента

Видно, что эта величина является дискретной (квантованной). Следует отметить, что между классическим моментом импульса

и соответствующим ему оператором имеется существенное различие. Классический момент r р зависит от выбора точки O, относительно которой берется радиус-вектор r. Оператор же момента импульса не зависит от выбора точки O (в этом можно убедиться, записав проекции момента в сферических координатах).