32.Ряд Тейлора для функції комплексної змінної.

Теорема: Довільна аналітична в колі функції f(z) може бути єдиним чином представлена у вигляді степеневого ряду , де

Доведення:

Візьмемо довільну точку z в колі і проведемо коло радіусом r, яке не містить точку z і лежить і колі радіуса R Функція f(z) аналітична в , тоді де ξ – точка на колі

, Отже, має місце розклад в ряд Помножимо цей ряд на f(ξ) Отримаємо Проінтегруємо, цю рівність по

33.Ряд Лорана.

Теорема: Довільна аналітична в кільці функт функц f(z) може бути розкладена в ряд Лорана. , L – довіл замкн контур, що цілком лежить в кільці

Доведення: Візьмемо довільну точку z в кільці, потім побудуємо 2 кола L1, L2 таких, що т.z лежить між цими кільцями і вони не перетинають вихідне кільце. Тоді за теоремою Коші для двозв’язної області маємо , де L1,L2 обхід проти годинникової стрілки. Аналогічно попередній теоремі Помножимо на

Інтеграл L2 де L1:

Помножимо на

Інтегруємо по L1:

34.Нулі аналітичної функції.

Нехай функція f(z) аналітична в області Д, точка . Означення: Точка назив нулем функції f(z) порядку m , якщо = З цього означення, що якщо z0 – нуль m-го порядку, то розклад функції f(z) в ряд Тейлора буде мати вигляд

Теорема: Для того, щоб m-ка z0 була нулем порядку m для функції f(z) необхідно і дост , щоб f(z) мала вигляд аналітична в Д і

Доведення: Нехай точка z0 – порядку m для f(z), тоді

f(z)=

=

Нехай

Розкладемо є нулем порядку m для f(z).

35.Ізольовані особливі точки і їх класифікація.

Точки в яких порушується умова аналітичності функції f(z) назив особливими. Ізольованою особлив точкою назив точка в околі якої немає інших особл точок функт f(z). Означення: ізольовану особливу точку z0 однозначної аналітичної в околі точки z0 функції f(z)будемо називати: а) усувною особлив точкою,якщо існує скінченна границя функт f(z) при z , тобто існує б)полюсом порядку m, якщо в)істотно особливою точкою якщо не існує ні скінченна, ні нескінченна границя . Усувна особлива точка(Теорема) – точка z0 є усувною особливою точкою для f(z) коли розклад в ряд Лорана функції f(z) в околі точки не містить головної частини. Полюс (Теорема) – для того, щоб точка z0 була нулем функції Істотно особлива точка(Теорема) – для того, щоб точка z0 була істотно особлив, необхідно і дост,щоб головн част ряду Лорана містила нескінченну кількість членів

36.Нескінченно віддалена особлива точка.

Класифікацію особл точок можна розширити і на випадок, коли особливою точкою є . Околом особл точки назив зовніш частина кола з центром в точці z=0 і достатньо великого радіуса R, тобто . Точка назив ізольованою, якщо в її околі немає інших особливих точок.

Введемо змінну Отримаємо функцію ϕ( Оскільки при то особливою точкою для функції ϕ( є точка . Оскільки f(z) – однозначна і аналітична при , то її можна розкласти в ряд Лорана: Перейти до розклад функції ϕ( . Отже, на основі цих формул маємо таку класиф ізольов особлив точки . Ця точка є: 1) усувною, якщо ряд в околі цієї точки не містить правильної частини, тобто 2)полюсом порядку m, якщо 3) істотно особлив, якщо ряд Лорана функц f(z) в околі містить нескінч кількість членів прав част ряду, тобто існує