7.Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжність.

Знакозмінним називається ряд, що містить як від’ємні так і додатні числа (їх безліч)ю

U₁ – U₂ + U₃ - … + U_n (5.1)

Де U₁, U_n… відповідно від’ємні/додатні.

Розглянемо ряд утворений з модулів членів ряд 5.1:

|U₁| – |U₂| + |U₃| - … + |U_n |(5.2)

Теорема: Якщо ряд 5.1 збіжний то збігається і ряд 5.2

Доказ:

Запишемо додатній ряд

(U₁+|U₁|) + (U₂+|U₂|) + (U₃+|U₃|) - … + (U_n +|U_n|) =

Ряд збігається за умовою теореми, з чого випливає, що за основною властивістю

Збігається.

Різниця двох збіжних рядів – збіжний ряд => 5.1 збіжний.

Доказано.

Умова теореми дає тільки достатню умову збіжності ряду. Буває, що ряд 5.2 розбігається, а ряд 5.1 збігається.

О.1: Ряд 5.1 назиавється абсолютно збіжним, якщо збіжний ряд складений з його модулів 5.2.

О.2: Ряд 5.1 називається умовно збіжний, якщо збігається ряд складений з його модулів.

8.Функціональні ряди. Поняття рівномірної збіжності. Ознака Вейерштрасса.

О:Функціональний ряд називається ряд, члени функції якої визначені на деякій множині.

U₁(x) + U₂(x) + U₃(x) - … + U_n(x) (6.1)

Якщо в ряд 6.1 підставити число, то отримаємо числовий ряд:

U₁(x₀) + U₂(x₀) + U₃(x₀) - … + U_n(x₀) (6.2)

Якщо 6.2 збігається, то точка x₀ називається точкою збіжності ряду 6.1, якщо 6.2 розбігається, то x₀ називається точкою розбіжності.

Множина точок, що збігається називається областю збіжності.

Область може співпадати з , а може бути деякою її підмножиною.

Частинною сумоюїї множини називається функція

S_n = U₁(x₀) + U₂(x₀) + U₃(x₀) - … + U_n(x₀)

В кожній точці області збіжності існує скінченна границя, яка називається сумою ряду 6.1

S(x₀) = U₁(x₀) + U₂(x₀) + U₃(x₀) - … + U_n(x₀)

Якщо 6.1 збігається, то різниця між сумою ряду S(x) і частинної суми Sn(x) називається n-тим залишком ряду z(x) = |S(x) – Sn(x)|.

Зрозуміло, що в області збіжності ряду 6.1 r_n(x) -> 0, n -> .

О: Функціональний ряд 6.1 називається рівномірно збіжним в області D, якщо для

Властивості рівномірно збіжних рядів:

1. Сума членів рівномірно-збіжного ряду 6.1 , які є неперервні, є також неперервною функцією.

2. Якщо функціональний ряд 6.1 рівномірно збігається на [a,b] і функції Un(x) – неперервні, то цей ряд можна почлено інтегрувати.

3. Якщо функціональний ряд 6.1 збігається на [a,b], і існує неперервна похідна , x є [a,b], а функціональний ряд - рівномірно збіжний, то ряд 6.1 можна почленно диференціювати.

4. (Вейерштраса): Функціональний ряд 6.1 абсолютно і рівномірно збіжний на [ , якщо існує збіжний знакододатній числовий ряд (6.3), такий що

|U_n(x)| a_n, x є , n>1 (6.4)

Доказ:

З 6.4 випливає абсолютна збіжність ряду 6.1

|r_n(x)| = |U_n+1(x) + U_n+2(x) + … | |U_n+1(x)| + |U_n+2(x)| + … a_n+1 + a_n+2 + … = r_n – залишковий член ряду 6.3.

За умовою 6.3 – збіжний => r_n 0, n =>

Для R_n

Випливає, що |r_n(x)| < (з 6.1 – рівномірно збіжний).

9.Степеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал та радіус збіжності степеневого ряду.

Теорема Абеля:

Якщо степеневий ряд збігається при х= , тоді він є абсолютно збіж при всіх х, таких, що

Доведення:

1. послідовність обмежена, тобто існує M=const

X: ; ;

2. Нехай розб при . Тоді він розб. При довільному х,

Отже, можливі випадки:

А)обл. зб. Ряду містить одну точку: х=0

Б) обл. зб. Ряду містить всю числову вісь

В) існує R числовий ряд збіжний на і розбіжний поза ним

R- радіус збіжності