41.Властивості перетворення Лапласа: лінійність, подібність, зміщення.

Лінійність: лінійна комбінація оригіналів має зображення, яке дорівнює відповідній лінійній комбінації зображень, тобто:

C₁,C₂,… - деякі константи, тоді C₁ C₂ C₁ C₂

Доказ:

Користуючись властивостями інтегрування маємо:

Доказано.

Подібність: якщо λ – будь яке число, то

λ λ λ )

Доказ:

Доказано.

Зміщення: якщо має зображення F(P), а - довільна const, то

Доказ:

42.Властивості перетворення Лапласа: запізнення, диференціювання по параметру.

Запізнення: якщо

Доказ:

Оскільки оригінал, то функція від до . Тоді:

Доказано.

Зображення періодичного інтегралу з періодом T знаходять за формулою:

Випередження:

Диференціювання по параметру: нехай , причому при диференційована по x.

Тоді:

43.Властивості перетворення Лапласа: диференціювання оригіналу, диференціювання зображення.

Диференціювання оригіналу: якщо і є оригіналами, то

Доказ:

Доказано.

Диференціювання зображень: якщо , то

Доказ:

Доказано.

44.Властивості перетворення Лапласа: інтегрування оригіналу і зображення.

Інтегрування оригіналу: якщо f(t) то

Доказ:

Функція – оригінал

Нехай

F(P)=pФ(p)=>Ф(P)= =>

Доказано.

Інтегрування зображень: якщо f(t) то

Доказ:

Доказано.

45.Множення зображень. Формула Дюамеля.

Нехай f1(t) F1(P), f2(t) F2(P). Тоді: F1(P)*F2(P) .

Інтеграли в правій частині називаються згорткою функції f1(t) і f2(t) і позначається

f1(t) * f2(t) =

Доказ:

Можна показати, що є оригіналом.

Наслідок: якщо f₁(t)*f₂(t) = F₁(P) * F₂(P) і f₁` є оригіналом, то виконується умова

Формула Дюамеля.

Доказ:

pF₁(p)F₂(p) = pF₁(p)F₂(p) – f₁(0)F₂(p) + f₁(0)F₂(p) = (pF₁(p) – f₁ (0))F₂ (p) + f₁ (0)F₂ (p)

pF₁ (p) – f₁ (0)

pF₁ (p)F₂ (p) f₁ (0)f₂ (t) = f₂ (t- )d + f₁ (0)f₂ (t)

Доказано.

46.Обернене перетворення Лапласа. Теореми розкладу.

Елементарний метод: у більшості випадків формулою оригінал знаходять з її зображення, користуючись властивостями, а потім за таблицею записують формулу оригіналу. Також часто застосовують метод невизначених коефіцієнтів та виділення повного квадрату.

Перша теорема розкладу: якщо функція F(p) аналітична в околі точки p = , і має розклад в ряд Лорана

то функція f(t) =

Друга теорема розкладу: якщо F(p) однозначна і має скінченне число особливих точок p1, … pn, то оригіналом для неї є функція f(t) =

Наслідок 1: F(P) = правильний дріб і точки p1, …, pn є простими нулями функції, то функція оригінал

f(t) =

Наслідок 2: якщо F(P) = правильний дріб і точки p1, …, pn – особливі точки, полюси порядку n_k, то

Наслідок 3: якщо і точки p1, …, pn є простими нулями функції, то оригінал має вигляд:

Третя теорема (узагальнення): якщо то усіх точках де f(t) неперервна – має місце формула обернення.

Де інтеграл ведеться вздовж прямої Rep = S₀ , де S₀ – показник росту f(t).

Інтеграл береться в сенсі головного значення.

Зауваження: в головному значення: