50.Умовна ймовірність. Теорема множення ймовірностей. Незалежність подій.

Означення 1 : Добутком двох подій (А*В) називається подія , яка полягає в дночасному виконанні А і В

Означення 2 : Умова ймовірності : Р_A(В) називається ймовірність подій АВ за умовою, що А вже відбулать

Теорема: множення ймовірностей : ймовірність сумісної появи 2ох подій = добутку ймовірностей однієї з них на другу за умоу, що 1ша вже відбулась

Р(А*В)=Р(А)*Р_A(В)

Наслідок : ймовірность появи однієї з подій А₁+…+Аn

Р(А₁+…+Аn)=Р(А1)…Р(Аn)

Р(А*В*С)=Р(А)+Р_А(В)+Р_А*В(С)

Означення . Подія А називається незалежною від події, якщо її умова ймовірності = безумовній тобто:

Р_В (А)=Р(А)

Якщо подій А і В незал , то формула має випадок : Р(А,В)=Р(А)+ Р(В)

Теорема ( Про взаємну незалежність подій)

Якщо А не залежить від В то і В не залежить від А ,

Доказ: Р_А(В)=Р(АВ)/Р(А)=Р(В)*Р_В(А)/Р(А)=Р(В)

Означення : події А1 , … Аn називається незалежними якщо кожна з них не залежить від добутку інших від кожного з них окремо.

51.Теорема про ймовірність суми сумісних подій.

Теорема: Якщо події А і B сумісні, то ймовірність суми цих події = сумі їх ймовірностей без ймовірності добутку

Доказ:

P(A+B)= P(A) + P(B) – P(A*B)

A+B = A + B*A`

B = A*B + B*A`

P(B+A) = P(A) + P(BA`)

P(B) = P(A*B) + P(B*A`)

P(A+B) – P(B) = P(B) – P(A*B)

Доказано.

Також формулу можна записати для довільної кількості подій.

P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) – P(ABC)

Зауваження: можна знайти ймовірність суми подій так:

S = A1 + A2 + … + An

P(S) + P(S`) = 1

S` = A1` * A2` * … * An`

52.Формула повної ймовірності.

Події A₁, …, A_n утворюють повну групу, якщо A_i * A_j , I j і

Теорема: якщо події h₁, …, h_n утворюють повну групу, а подія A – подія, що можлива в результаті досліду, то

P(A) =

Доказ:

Нехай H₁, …, H_i утворюють повну групу

H₁ + H₂ + … + H_i = Ω

A = A * Ω = A * (H₁ + H₂ + … + H_i) = AH₁ + AH₂ + … + AH_i

H_I * H_j = , I => AH_i*AH_j =

P(A) = P(AH₁) + P(AH₂) + … + P(AH_i) = P(H₁) P_H1(A) + P(H₂) P_H2(A) + … + P(H_n) P_Hn(A).

Доказано.

53.Формула Байеса (теорема гіпотез).

Теорема: Нехай H₁, …, H_n утворюють повну групу подій, А – деяка подія. Тоді ймовірність Н_і при умові виконання події А =

Р_А(Ні) =

Де Р(А) – повна ймовірність події А.

Доказ:

Р_А(Н_і)= =

Доказано.

54.Незалежні випробування. Формула Бернулі.

Озн: Незалежними називаються випробування, які не залежать від їхніх випробувань.

Нехай ми проводимо n незалежних випробувань в кожному з яких може з’явитись подія А, а може А’ (не А). Отже А з’явиться з ймовірністю Р, тоді А’: q = 1 – P.

Якщо n дослідів, то можливе 2ⁿ результатів цих дослідів.

Озн: Схема Бернулі називається послідовність n незалежних дослідів в яких подія А наступає з ймовірністю р, а подія А’, з ймовірністю q.

Найпростіша задача є знаходження ймовірності того, що подія А наступить m разів в n незалежних дослідів. Позначається: P_n(m).

Теорема Бернулі: якщо проводиться n незалежних дослідів, подія А в результаті кожного наступить з ймовірністю p, а подія А’, з ймовірністю q. Тоді ймовірність того, що подія А наступить m разів визначається за формулою Бернулі.

P_n(m) = pⁿq^n-m

Доказ:

Нехай подія А відбувається в перших m разів дослідах, а в інших випадках А’. Ймовірність такої події p^mq^n-m. В інших випадках ймовірність також буде p^mq^n-m. Всього таких можливостей . Отже Pn(m) = p^mq^n-m + … + p^mq^n-m = p^mq^n-m