19.Границя і неперервність функції комплексної змінної.

Означення. Границя функції називають число якщо

Запис

Це означення можна записати так:

Властивості границі функції комплексної змінної аналогічні властивостям функції дійсної змінної

Означення. Якщо функція визначена в точці z₀ і в деякому її околі, і , то функція – неперервна в точці .

Це означення еквівалентне, тому, що неперервна при , якщо

Функція неперервна в кожній точці області D – неперервна в області D.

20.Елементи функції комплексної змінної

Показникова функція

e^x = 1 + x +

e^iz = 1 + iz –

e^-iz = 1 - iz +

Оскільки: =

Отже

Логарифмічна функція:

За властивостями степеневої функції

Причому ln(-3) існує.

При k=0 отримаємо головне значення логарифна.

Властивості:

lnz₁ + Lnz₂ = ln(z₁z₂)

lnz₂ – lnz₂ = ln(z₂/z₁)

lnzⁿ = nlnz

lnz^1/n = (1/n)*lnz

21. Елементи функції комплексної змінної ω= z^n,ω= arcSin z.

Степенева функція

n=N, - однозн. Функція

n=

, - багатозн. Функція

Обернена тригонометрична функція

22.Елементи функції комплексної змінної , і зв’язок між ними.

За цими формулами можемо знайти зв’язки:

, Оскільки z – довільне число, то

,

Доказ:

Аналогічно і cos(x).

23. Диференціювання функцій комплексної змінної. Умови Коші-Рімана.

Нехай однозначно функція визначена в деякому околі точки і в самій точці . Тоді, якщо існує скінченна границя

(5.1)

то вона називається похідною функції в точці . При цьому функція називається диференційованою в точці .

Якщо диференційована в точці , то вона неперервна в цій точці. Обернене твердження не вірне.

Теорема (умови Коші-Рімана)

До точки рух вздовж Ох

, =0

=

Якщо функція визначена в деякому околі точки і функції і – диференційовані в точці , то функція буде диференційована в точці

– дифенційована в точці

z

Тепер до точки рухаємось вздовж Оу. Тоді , =0

=

Оскільки – дифенційована, то ці границі співпадають:

Нехай виконуються умови Коші-Рімана і функції – дифенційовані в точці

де – нескінченно малі величини більш високого порядку малості, ніж

Отже, ,

Оскільки для функції виконуються умови Коші-Рімана, то її похідну можна шукати за формулою:

Правила диференціювання дійсної змінної переноситься на функції комплексної змінної. Якщо функції i диференційовані в точці , то:

Зауваження. Функції , , , диференційовані в довільній точці комплексної площини. Функції , , диференційовані в довільній точці комплексної площини крім

.