28.Первісна і невизначений інтеграл від функції комплексної змінної. Формула Ньютона-Лейбніца.

З 3-ого наслідку теореми Коші:

Якщо f(z) аналітична в однорідній області D, то інтеграл по кривій АВ не задежить від контуру інтегрування , а залежить лише від початка і кінця т-к інтегрування

Доказ: З’єднаємо точки А і В 2-ма довільними кривими отримаємо

доказ закінченно

Має сенс запис ; якщо -зафікс, то ( =F(z)

Можна довести, що якщо f(z)- аналітична, то F(z) – також аналітична

Функція F(z) називається первісною для f(z)

Множина всіх первісних F(z)+C називається невизначеним інтегралом функції

Нех. F(z)-первісна = F(z)+C.

Підставимо замість z точку z₀ отримаємо F(z₀)+C=0 випливає F(z₀)=C. Отже

– формула Ньютона – Лейбніца

29.Інтегральна формула Коші і наслідки з неї.

Теорема: Нехай функція f(z) – аналітична в однов’язній замкн області Д і область Д обмеж контуром L. Тоді має місце інтегральна формула Коші. в додатному напрямі(проти годинникової стрілки).

Доведення:Виберемо деякий окіл т. z0, який повністю лежить в Д, позначимо його . Тоді за наслідком 2 з основної теореми Коші: Оскільки f(z) – аналітична в області Д, то вона неперервна в Д, а отже і непер в z0. За означ непер маємо довільна Існує

Права частина ԑ як завгодно мала, а ліва не залежить від ԑ

Наслідок1: Якщо функт f(z) має неперервні похідні в області Д, то має місце формула

Наслідок2: Якщо функт f(z) диферент в околі точки , то її можна представити у вигляді збіжного ряду (ряду Тейлора) Ряд Тейлора для функції компл змін збіж і збігається до цієї ж функції f(z).

30.Числові ряди в комплексній площині. Необхідна умова збіжності та теорема про абсолютну збіжність таких рядів.

Числовим рядом в комплексній площині назив ряд вигляду

деU1,…,Un – комплексні числа. Якщо , то ряд запишемо у вигляді n-тою частиною сумою ряду назив Якщо існує скінченна границя Sn, то ряд наз збіжним і його сума Якщо границя не є нескінченною, то ряд наз збіжним. Ряд буде збіжним коли збіжні ряди

Теорема: Якщо ряд збігається, то збіжний

Доведення: ряд збіжний збіж. Мають місце наступні оцінки За ознак порівняння

абсолютно збіжні , то абсолютно збіжний.

31.Степеневі ряди в комплексній площині. Теорема Абеля. Властивості степеневих рядів.

Степеневим рядом називається ряд вигляду ,

де комплексне число, комплексна змінна

Теорема Абеля:

Якщо ряд збігається при (в околі точки z0), то він збіжний при довільних z; .Якщо ж ряд розбіжний при , то розбіжний при довільних z З теореми Абеля випливає, що існує така точка R, що при довільних z ряд розбіжний, якщо , ряд збіжний.

Властивості степеневих рядів:

1.Сума степеневого ряду в області є аналітичною функцією.

2.Степеневий ряд в області його збіжності можна довільну кількість разів диференціювати та інтегрувати. При цьому отримаємоо ряд обл. збіж якого співпадає з обл. збіж вихідного ряду