10.Властивості степеневих рядів.
1)Cтепеневий
ряд є абсолютно і рівномірно збіж. на
довільному відрізку
,
що цілком лежить в інтервалі збіжності
(-R;R)
Доведення:
За
умовою
Візьмемо
За
теоремою Абеля
.
Візьмемо
– абс.
І рівном. Збіж.
2) Сума степеневого ряду неперерв. Ф-ією на інтервалі його збіжності.
3)
Якщо
міститься в інтервалі збіжності
степеневого ряду, то можна інтегрувати
почленно ряд. Зокрема, якщо взяти відрізок
,
,
то
отримаємо ряд інтервал збіжності якого
збіг. З інтервалом збіжності нашого
ряду.
4)
Якщо
степеневий ряд має інт. Зб. (-R;R)
то
ряд, утвор диференціюванням цього ряду
має той самий інтеграл збіжності, тобто
,
11.Ряди Тейлора і Маклорена.
Там де а – треба х0
Де
– залишковий член у форм Лагранжа
Многочлен Тейлора:
Якщо функція f(x) нескінченно разів диферент в околі точки, то для неї має місце ряд Тейлора.
Ряд Мааклорена утв з ряду тейлора при х0=0
Теорема1:
Для того, щоб ряд Тейлора збігався до
функції f(x)
необхідно
і достатньо, щоб
Теорема2:
Якщо всі похідні функції f(x)
в
околі т. х0 обмежені деяким числом М
то
ряд Тейлора збігається до f(x)
12.Наближені обчислення за допомогою степеневих рядів.
Нехай
потрібно обчислити значення функції
f(x)
при
x
= x0,
функція
f(x)
розкладується
в ряд Тейлора в околі точки x0.
f(x0)
– це
сума ряду S(x0).
Наближене
значення f(x0)
S(x0),
при
цьому похибка |r0(x0)|
= |Un+1(x0)
+
Un+2(x0)
+ +
… |. Причому,
якщо ряд для f(x),
такий, що знаки
якого строго чергуються то похибка
|r0(x0)| < |Un+1(x0)|
Якщо ряд, знакододатній або закозмінний, то похибку оцінюють так:
|rn(x0)| = |Un+1(x0) + Un+2(x0) + … | |Un+1(x0)| + |Un+2(x0)| + … < a1 + a2 + …
Де - числовий ряд, сума якого можна знайти.
Наближене обчислення визначеного інтеграла.
Нехай
потрібно обчислити f(x)
=
,
який або не виражений в елементарних
функціях, або важко обчислюється. Якщо
фукція f(x)
розкладається в степеневий ряд, а
проміжок інтегрування [0,x]
належить області збіжності цього ряду,
то отримаємо функцію F(x).
Наближене розв’язання степеневих рядів
Розглянемо диф. рівняння y` = f(x,y);
y(x0) = y0 (12.1)
Шукаємо розв’язок 12.1 у вигляді ряду:
y(x)
=
y`(x0) знаходимо з 12.1 підстановкою x0 та y0. Щоб знайти y`` - диференціюємо 12.1 по х.
І т.д.
13.Ряди Фур’є. Гармонічні коливання.
Функція
y=f(x)
належить D
має період T>0,
якщо
Основні властивості періодичних функцій:
1о. f(x) + F(y) (обидві періодичні) = також функція з періодом T.
2о.
Якщо функція f(x)
має період T,
то f(ax)
має період
Доказ:
f(a(x+
Доказано.
3о.Якщо
f(x)
має період T,
і є інтервал на [x0,x1]
теграл:
Доказ:
Нехай 0 < a < b < T;
Доказано.
Найпростішими
періодичними коливаннями є прості
гармонічні коливання, що задаються
функцією: y=Asin(
(1.1),
Функцію вигляду 1.1 і її графік називають простою гармонією.
Перетворимо 1.1:
де
b
=
.
Основний
період функції 1.1 є T=
.
Зокрема:
