4.Ознака д’Аламбера, радикальна ознака Коші.

Теорема (Ознака Даламбера)

Якщо для ряду з додатніми членами U1+U2+…+Un+… Um>0 (3.6)

Існує границя , то

1. При l<1 ряд збіжний

2. При l>1 ряд збіжний

3. При l=1 – невідомо потребує додаткової перевірки

Доказ: l<1 за основами границі для довільної Є>0 існує таке N що довільне n>N

, <Є

L-Є< <L+Є (3.7)

Виберемо Є так що L+Є<1 (це можливо оскільки L<1 )і позначимо q=L+Є<1

З 3.7 випливаэ , що <q*Un при довільном n більшого за N будемо надавати n значень

N+1,N+2… з чого випливає , що U_N+4 < q*U_N+3 <q²* U_N+2<q³* U_N+1

Якщо розглянути 2 послідовності:

*U_N+2, U_N+3,…

** qU_N+1, q²U _N+1,, q³U _N+1,…

То кожен член послідовності (**) буде більше відповідного члена послідовності (*)

Ряд утворений з (**) буде щбіжний як геометричний ряд з знаменником q<1 випливає ряд утворений з * також збіжний випливає за властивістю 3 , що ряд 3.6 збіжний випливає ряд (3.5) збіжний

Доказ: 2) = l>1 випливає що довільне Є>0, існує N=N(Є), для довільного n>N.

L-є< < L+є 3.7

Тоді з нерівності 3.7 отримаємо

1< L-Є < з якого випливає

Теорема (Радикальна границя Коші):

Якщо для ряду 3.6 з додатковими числами існує =l:

1. L<1 – збіжний

2. L>1 – розбіжний

3. L=1 – невідомо

Доказ: 1) =l<1; ; ; таке , що <

l- < <l+ (3.8)

Виберемо таке , що l+ <1, тоді з правої частини 3.8 маємо:

<q

<qⁿ

Ряд складається з qⁿ збіжний , то q<1, випливає , що збіжний , отже 2й збіжний

2) l>1

З лівої частини 3.8 l- <1 , випливаэ 1< , випливає 1< , випливає , випливає 3.6 розбіжний

5.Інтегральна ознака коші.

Інтегральна ознака Коші

Нехай задан ряд f(1)+f(2)+…+f(n)= (3.9)

Члени якого є значенням неперервної монотонної складної функції f(x) на проміжку [1; ). Тоді , якщо збігається не власний інтеграл і ряд (5.9) збігається , а якщо розбігається то розбіжний (3.9) Розіб’ємо фігуру обмежену зверху f(x), знизу Ох. х , на частино з основних [1;2],[2;3]…

Користуючись геометричним змістом

f(2)*1+f(3)*1+< <f(1)*1+d(2)*1+…+d(n-1)*1

U₁ + U₃ + … + U_n < U₁ + U₃ + … + U_n-1 ;

S_n – U₁ < S_n – U_n (3.10)

1.) – збіжний, тоді

.

З 3.10 S_n < A + U₁

S_n – монотонно зростаюча і обмежена згори числом: А + U₁ збіжний

2.) Нехай – розбіжний, тоді при збільшенні n і збільшується.

З правої частини 3.10

Отже при збільшенні n теж збільшується, отже S_n теж збільшується, і , ряд розбіжний.

6.Ряди, в яких знаки членів строго чергуються. Ознака Лейбніца.

Нехай ряд: U₁ – U₂ + U₃ – U₄ + … + (-1)^n-1U_n + … (1.1)

Де Un > 0 – достатня ознака для дослідження на збіжність.

Теорема (ознака Лейбніца): Якщо для членів ряду 1.1 виконується умова

1. U₁ > U₂ > U₃ > …

2. 0.

То ряд 4.1 збіжний і його сума > 0, 0 < S < U1. ;

Доказ: візьмем парну кількість членів цього ряду.

S_2m = U₁ – U₂ + U₃ – U₄ + … + U_m-1 + U_m+1.

За умовою теореми 1 – знак кожної дужки додатній => S_2m > 0. Перепишем.

S_2m = U₁ – (U₃ - U₂) – (U₅ – U₄) + … + - (U_2m-2 – U_2m+2) – U_2m.

S_2m < U₁.

S_2m – монотонно зростає при зростанні m. 0 S_2m < U₁ => , от же ряд збігається.

Якщо візьмемо не парну

S_2m = S_2m + U_2m+1.

S_2m + U_2m+1) = S 0 => ряд збіжний.

Наслідок: Абсолютна похибка від заміни супи ряду його n-тою частини сумою не перевищує першого з відкинутих доданків цього ряду:

U₁ – U₂ + U₃ - … + (-1)ⁿ⁺¹U_n

S = S₄ + S^* < S₄ + U₅