37.Означення лишку. Теорема Коші про лишки.

Нехай z0 ізольована особлива точка (скінченна). Тоді функцію f(z) можна розкласти в ряд Лорана в околі цієї точки Коефіцієнт ряду Лорану назив лишком функт f(z) відносно точки z0. Позначається За теоремою про розклад в ряд Лорана маємо

Теорема Коші(про лишки): Якщо функція f(z) однозначна і аналітична у внутр. Точках області L і на її межі за виключенням скінченного числа внутр. Точок Тоді

Доведення: Нехай z1,zn –особлив точки. Проведемо кола в цих точках так, щоб ці кола лежали в L. Тоді за наслідком 2 з основ теореми Коші

38.Обчислення лишків.

Уявна особлива точка: Якщо z0 усувна особлива точка, то її ряд Лорана має вигляд: . Тобто Полюс особлива точка: Нехай z0 простий полюс тоді ряд f(z) в околі z0 має вигляд: омножимо на перейдемо до Якщо де ψ(z0)=0;φ(z0)=0;ψ’(z0)=0; ; Якщо точка z0 порядку m, то ряд Лорану має вигляд: Помножимо на Продиф цю рівність m-1 раз і перейдемо до границі при : Істотно особлива: У цьому випадку лишки знаходять за допомогою розкладу в ряд Лорана в f(z) в околі точки z0

39.Застосування лишків до обчислення дійсних визначених інтегралів.

І. Інтеграл вигляду Зробимо заміну ,

ІІ. Інтеграл вигляду: ;

40.Оригінали і їх зображення. Теореми про існування зображення та єдність оригіналу.

Нехай f(t) дійсна функція дійсної змінної, під t – або час або координата.

Тоді: Функція f(t) називається оригіналом, якщо:

1. f(t)=0; t<0

2. f(t) кусково неперервна на (0; тобто вона неперервна або має точки розриву 1-го роду, причому на кожному скінченному відрізку цих точок скінченна кількість.

3. Існують константи M>0, S₀ 0, що для всіх t виконується умова:

При цьому S₀ називається показником росту функції f(t). Ця умова виконується для сталих функцій (S₀=0), tⁿ(n>0).

Умова 3 не виконується для функцій, наприклад

Зображення: функція f(t) може бути комплексною функцією дійсного аргументу t, тобто:

Тоді f(t) є оригіналом, якщо функції f(t) і f₁(t) є оригіналами.

Означення: Зображенням оригіналу f(t) називається функція F(P) комплексної змінної p=s + i , яка визначається інтегралом:

Операція переходу від оригіналу до зображення називається перетворенням Лапласа:

Позначається f(t)

Теорема 1(існування зображення): Для довільного оригіналу F(P) на півплощині Re p = S > S₀, де S₀ – похідна росту f(t) і це зображення є аналітичним в цій площині.

Доказ: нехай p = S + i – точка з півплощини. S > S₀. Тоді, враховуючи |f(t)| , маємо

Отже |F(P)| , отже F(p) існує і однозначно в області S>S₀.

Наслідок(необхідна умова існування): якщо F(P) є зображення деякого оригіналу f(t), то

Цей наслідок випливає з оскільки

З теореми 1 випливає, що функція зображення F(P) повинна не мати особливих точок на півплощині Re P = S > S₀

Теорема 2(про єдність оригіналу):

Нехай F(P) – зображення для двох функцій – f₁(t) i f₂(t), тоді f₁(t) i f₂(t) співпадають на інтервалах неперервності.