1.Числові ряди. Основні властивості та дослідження ряду геометричної прогресії.

О.1: Числовим рядом називається вираз вигляду:

∑^∞_n=1 U_m = U₁ + U₂ + … + U_m + …

(1.1)

Де U₁, U₂, … – дійсні бо комплексні числа.

U_m – загальний член ряду.

Ряд 1.1 вважається заданим, якщо відомий член ряду.

U_m = f(n)

О.2: Сума перших n членів ряду називається n-тою частинною сумою ряд у 1.1 і позначається

Sn = U1 + U2 + … + Un = ∑^∞_n=1 Un

О.3: Якщо існує скінченна границя послідовності частинних сум Sn, тобто

То ця границя називається сумою ряду 1.1. При цьому ряд 1.1 називається збіжним.

Якщо не існує або , то ряд називається збіжним.

О.4: Геометричний ряд

a + aq + aq² + aq³ + … + aq^n-1 + …

(1.2)

Sn = a + aq + … + aq^n-1

qS_n = aq + aq² + … aqⁿ

Sn – qSn = a - qⁿ

Sn =

1. |q| < 1 => qⁿ -> 0, n-> ; тоді , отже ряд збіжний і

2. |q| > 1 => qⁿ -> ∞, n-> ; тоді , розбіжний

3. |q| = 1,

Нех q = 1, тоді ряд 1.2 набуде вигляду:

a + a + .. + a + …

ряд розбіжний бо Sn=an,

Нех q = -1;

a – a + a - … + a – a + … -

Ряд розбіжний.

Отже ряд збіжний при |q|<1 і його сума S =

2.Основні властивості числових рядів.

1. Якщо ряд 1.1 збіжний і має суму S, то збігається також ряд C = const, і сума цього ряду буде cS

Доказ: запишемо

2. Нехай ряди ∑^∞_n=1 Un i ∑^∞_n=1 Vn збіжні і мають єдину s і S` відповідно. Тоді будуть збіжні ряди

причому їх суми будуть

Доказ: _­

3. Якщо ряд 1.1 збігається, то збігається і ряд, утворений відкиданням довільного скінченного числа членів цього ряду.

Доказ:

Відкинемо всі члени після Uk.

, де - сума членів ряду, що містяться в Sn, але не містяться в Sk.

Sk – число,

Отже ряд збіжний.

Наслідки: для того, щоб ряд 1.1 був збіжний (розбіжний) треба щоб був збіжний (розбіжний) довільний його залишок.

4.(Необхідні умови збіжності ряду).

Якщо ряд ∑^∞_n=1 Un збігається, то lim Un = 0

Доказ:

Sn-S_n-1 = Un

5.Достатня умова розбіжності ряду. Якщо lim Un то ряд розбігається.

Доведення випливає з 4.

3.Ознака порівняння та гранична ознака порівняння для знакододатних рядів.

Теорема 1 (ознака порівняння)

Якщо маємо 2 ряди з невд'ємними членами

U1+U2+…+Un+... Un>=0 (3.1)

V1+V2+…+Vn+… Vn>=0 (3.2)

І виконується умова Un>=Vn n>=1

Тоді: з збіжності ряду Vn випливає збіжний ряд U ;

А з розбіжного ряду U випливає розбіжний V

Доказ: Запишемо частинні суми

Sn= Uк Sn=

Нехай (3.2) – збіжний випливає ;

Оскільки Sn’ не спадна то ;

А оскільки Sn<Sn’, то Sn<=Sv’<=S

Sn= монотонна і не спадна , обмежена зверху тже за теоремою про границю монотонної обмеженої послідовності існує скінченна границя Sn Якщо то ряд 3.1 збіжний . (кінець доказа)

Якщо 3.1 розбіжний то 3.2 також розбіжний , бо за вже доведення якщо 3.2 збіжний то 3.1 збіжний

Ряди що часто використовуються для для порівняння

1. 

2. 

В умові теореми 1 умову , що Um<=Vm m>=1 можно замінить , що Um<=Vm для m>=N(за 3ю властивлстю)

Теорема 2 : Граничга ознака порівняння

Нехай задано 2 ряди з додатніми числами:

U1+U2+Un+… Un>0 (3.3)

V1+V2+Vn+…Vn>0(3.4)

І скінченна , відмінна від 0 lim

=a( 0, ;=const);

Тоді ряди вежуть себе однаково

Доказ: нехай з умови, що скінченний за означенням

Є>0 N=N(Є) n>N <Є;

-Є< -a<Є; а-Є< <Є+а

(а-Є)Vn<Un<Vn(a+Є); (3.5)

Виберимо Є так , щоб а – Е >0 , то б то Є<a;

Нехай (3.3) збіжний => з відношення 3.5 за теоремою 1 ряд Vn(c.) теж збігається => за властивісттю 1 ряд Vn збіжний

Нехай (3.3) розбіжний , тоді з 3.5 за теоремою 1 ряд V(Є+а) теж розбіжний , тоді з 3.5 за теоремою 1 ряд V(Є+а) теж розбігається і за властивістю 1 ряд V розбіжний