Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

г )

1,0

(N1

Рис. 8.21

261

Следуя алгоритму расчета (раздел 8.7), запишем систему урав­ нений в численном виде:

27284

Х1 Х 2 -5636,67 а = 0;

Решив ее, найдем Х 1 = 52,8498 а E J кН, Х2 = -10,0590аE J кН.

Статическая неопределимость рамы раскрыта. Так как грузовая эпюра моментов в основной системе (статически определимой) при расчете на действие температуры отсутствует, то окончательную эпюру моментов строим по выражению:

M =M 1X 1 + M 2 X 2 .

Она показана на рис. 8.21,з. Изгибающие моменты в раме зависят от значений жесткостей стержней, то есть подтверждается одно из об­ щих свойств статически неопределимых систем (раздел 8.1). В скобках указаны значения ординат для принятых в примере исходных данных.

Выполняем кинематическую проверку. Суммарная единичная эпюра моментов M s изображена на рис. 8,21,ж.

-4 (2• 271,753 2 + 2 • 60,354 • 6 + 60,354 • 2 + 271,753 • 6 ) - 6

-5636,67а + 6250,0а] = 0.

Условие (8.30) выполняется. Эпюры Q и N изображены на

рис. 8.21,и,к.

262

П р и м е р . Построить эпюры M , Q и N в раме от указанного на рис. 8.22,а смещения опорных связей, приняв жесткости стержней равными E J = 60 МН-м2, а смещения связей с = С2 = с = 0,01 м.

Заданная рама дважды статически неопределима. Выбрав основ­ ную систему (рис. 8.22,б), запишем канонические уравнения метода сил для расчета рамы на смещение опор в виде:

Построим единичные эпюры моментов (рис. 8.22,в,г) и вычис­ лим коэффициенты при неизвестных:

Учитывая распределение реакций в опорных связях от X 1 = 1 (рис. 8.22,в) и X 2 = 1 (рис. 8.22,г), по формуле (7.13) получим:

Д1с = - Z Rk1ck = - ( - 1 С1 - 2,5 с2) = С1 + 2,5 с2 = 3,5 с;

Д2с = - Z Rk2 ск = - ( - 0,5 с2) = 0,5 с2 = 0,5 с.

Канонические уравнения, после несложных преобразований, по­ лучают следующую форму записи:

Решив их, найдем:

X 1 = -0,043125 с Ы , X 2 = -0,039844 с Ы .

263

Она показана на рис 8.22,д. В скобках указаны значения ординат моментов для принятых исходных данных. Кинематическая про­ верка ее, также как и при расчете на тепловое воздействие, сводится

Проверка выполняется. Эпюры Q и N показаны на рис. 8.22,ж,з.

8.11. Линии влияния усилий

Для построения линии влияния какого-нибудь усилия необходи­ мо, как известно, вначале, пользуясь известными методами строи­ тельной механики, получить зависимость (аналитическую или в численном виде) этого усилия от положения силы F = 1 (S = f (x)), а затем, с помощью этой зависимости, определить значения ординат линии влияния для всех характерных сечений.

Если для определения зависимости S = f (x) применяются ме­ тоды статики сооружений, то соответствующий метод построения линии влияния называется статическим.

В статически неопределимых системах усилие в сечении стерж­ ня определяется по выражению (8.14). Если его использовать для построения линий влияния, то необходимо иметь в виду, что от подвижной силы F = 1 меняются и значения основных неизвест­ ных X i и значение усилия в сечении k основной системы. Поэто­

му выражение (8.14) для построения линии влияния усилия в сече­ нии k следует переписать в виде:

265

Изложенный способ построения линии влияния может быть применен и для систем с небольшим числом неизвестных при “руч­ ном” (неавтоматизированном) способе вычисления координат.

F = б) н

f X 1

267

у / 4 | // 4 | // 4 | //4 ^ Х 1

б)

в)

г)

Рис. 8.24

Для сложных систем, к которым относятся и рамы, получить аналитические зависимости исследуемого фактора от координаты груза F = 1 трудно, поэтому для них используются численные ме­ тоды решения. С помощью компьютерных программ, в которых реализованы методы расчета различных систем, можно найти иско­ мое усилие при положениях силы F = 1 в различных характерных сечениях рамы.

Решение задачи о построении линии влияния усилия сводится, та­ ким образом, к расчету заданной системы на несколько разновремен­ ных загружений ее силами F = 1. Поясним этот подход к построению линий влияния на примере двухпролетной рамы (рис. 8.25) все стерж­ ни которой имеют одинаковую изгибную жесткость.

Предположим, что сила F = 1 может двигаться по стержням 4-8 и 9-13. Построим линию влияния изгибающего момента в сечении 6. Оп­ ределив на каждом из стержней три промежуточных сечения и считая, что все стержни рамы имеют EA ^ да , выполним расчет заданной ра­ мы на шесть загружений ее единичными силами (в каждом промежу­

268

(8.34)

где ^П ) - перемещение в системе с n —1 неизвестной точки

приложения силы X 1 по ее направлению; оно вычисля­

ется “перемножением” эпюры ы | п 1 самой на себя;

- перемещение в той же системе точки приложения

силы F = 1, вызванное силой X 1 = 1.

Сила F = 1 может занимать любое положение на стержнях рамы, поэтому S f 1 определяет перемещения стержней рамы от силы X 1 = 1.

Таким образом, выражение (8.34) для построения линии влияния X 1

можно записать следующим образом:

(8.35)

Итак, чтобы построить линию влияния X 1 необходимо постро­

ить от X 1 = 1 эпюру перемещений стержней рамы, по которым

движется сила F = 1, и все ординаты ее поделить на ( —S11).

Очертание линии влияния, оказывается, подобно эпюре переме­

щений сечений стержней. Множитель ( -------) является коэффициS11

ентом подобия. В этом и состоит основное достоинство кинемати­ ческого метода. С его помощью легко представить форму линии влияния усилия. Для этого необходимо удалить связь, в которой возникает искомое усилие и загрузить раму (или другую систему) соответствующей силой X 1 = 1. Обладая достаточной инженерной

интуицией, несложно показать эпюру перемещений, то есть форму линии влияния.

270