1-2 Моделирование / Matlab. Практический подход. Самоучитель

симирующей зависимости в случае линейной функции f (x,a1,a2,...,am ) для определения оптимальных параметров a1 , a2 , ..., am достаточно методов линейной алгебры. В общем случае поиск параметров a1 , a2 , ..., am аппроксимирующей зависимости формулируется как задача поиска абсолютного

n

минимума для выражения ∑(yk − f(xk,a1,a2,...,am ))2 .

k =1

На заметку

В линейном случае задача решается проще и быстрее. В этом отношении лучше и приятнее иметь дело с линейной задачей. К счастью, нередко нелинейную задачу можно переформулировать так, что она станет линейной. Для линейной задачи на будущее договоримся называть параметр ak (k = 1,2,...,m ) коэффициентами аппроксимирующего выражения, а функции ϕk (x) (k = 1,2,...,m ) базисными функциями аппроксимирующего выражения.

Далее рассмотрим, как эти задачи решаются в Matlab. Один из самых простых случаев – аппроксимация на основе полинома. Для решения такой задачи используем встроенную функцию polyfit(). Аргументами функции передаются массивы узловых точек и значений в этих узловых точках табулируемой функции, а также степень аппроксимирующего полинома. Пример использования функции polyfit() приведен в документе на рис. 8.7.

На основе набора базовых точек создается два аппроксимирующих полинома – четвертой и второй степени. Кривые для обоих полиномов, вместе с исходными базовыми точками, отображаются на графике. Весь командный код такой (жирным шрифтом выделен ввод пользователя):

>>x=0:0.01:10;

>>plot(k,y,'rs','LineWidth',2)

>>grid on

>>hold on

>>q=polyfit(k,y,2)

q =

>> plot(x,polyval(p,x),'b-','LineWidth',2)

321

Самоучитель Matlab

Рис. 8.7. Использование функции polyfit() для выполнения полиномиальной аппроксимации

>>plot(x,polyval(q,x),'g--','LineWidth',2)

>>legend('базовые точки','полином 4-й степени','полином 2-й степени')

Узловые точки по аргументу создаем командой k=0:10 (целочисленные значения от 0 до 10 включительно). Значения табулированной функции в этих точках вычисляются командой y=cos(pi*k/5)./(1+k). Таким об-

значений индекса k = 0,1,...,10 . Аппроксимирующий полином вычисляется командой p=polyfit(k,y,4). Первым аргументом функции polyfit() передается список k со значениями узловых точек по аргументу. Список y содержит значения табулированной функции в узловых точках. Третий аргумент функции polyfit() определяет степень аппроксимирующего полинома (в данном случае создается полином четвертой степени). В результате возвращается список коэффициентов аппроксимирующего полинома. Этот список записывается в переменную p.

Базовые точки отображаются на графике с помощью команды plot(k,y,'rs','LineWidth',2). Командой q=polyfit(k,y,2) создается еще один аппроксимирующий полином, но на этот раз второй степени. Затем командами plot(x,polyval(p,x),'b-','LineWidth',2)

иplot(x,polyval(q,x),'g--','LineWidth',2) отображаются

322

Глава 8. Обработка данных

аппроксимирующие полиномы. При этом переменная x предварительно определяется командой x=0:0.01:10. Для вычисления значения полинома использовалась функция polyval(). Легенда добавляется командой legend('базовые точки','полином 4-й степени','полином 2-й степени'). Результаты аппроксимации лучше всего исследовать в графическом виде. На рис. 8.8 представлены результаты построений, выполненные при создании аппроксимирующих полиномов.

Рис. 8.8. Результат аппроксимации полиномами разной степени

Относительно "качества" аппроксимации, то совершенно очевидно, что полином четвертой степени в этом отношении более чем хорош. Но такая идиллия имеет место далеко не всегда. Другими словами, полином не всегда является приемлемым типом аппроксимирующей функции. Составим простенький программный код, с помощью которого будем вычислять аппроксимирующие зависимости линейного вида для произвольных базисных функций. Мы будем использовать три функции. Вот их код:

function res=LSFit(x,y,phi,m) b=zeros(m);

c=zeros(m,1); for i=1:m

for j=1:m b(i,j)=sum(phi(x,i).*phi(x,j));

end

323

Самоучитель Matlab

c(i)=sum(y.*phi(x,i)); end

res=b\c; end

Это функция для вычисления коэффициентов возле базисных функций в аппроксимирующем выражении. У функции LSFit() четыре аргумента. Первые два – это список узловых точек x и список y значений табулированной функции. По этим точкам строится аппроксимирующая зависимость (точнее, определяются параметры этой зависимости). Указатель phi на базисные функции, через линейную комбинацию которых определяется аппроксимирующее выражение, является третьим аргументом функции LSFit(). Четвертый аргумент m функции LSFit() определяет количество слагаемых в аппроксимирующем выражении. В качестве результата функция возвращает список коэффициентов, с которыми базисные функции входят в аппроксимирующее выражение (переменная-результат обозначена как res).

В теле функции командами b=zeros(m) и c=zeros(m,1) создается квадратная матрица b размера m, заполненная нулями, а также нулевой векторстолбец c. Матрица и вектор заполняются в процессе выполнения вложенных операторов цикла. В каждом цикле индексная переменная пробегает значения от 1 до m. Командой b(i,j)=sum(phi(x,i).*phi(x,j)) вычисляются элементы матрицы b. Элементы вектора c вычисляются командой c(i)=sum(y.*phi(x,i)).

На заметку

n

В переменную b записывается матрица с элементами bij = ∑ϕi(xk )ϕj (xk ), k =1

где базисные функции ϕp(x) ( p = 1,2,...,m ) формируют аппроксимирую-

щее выражение f (x) = ϕ1(x)a1 + ϕ2(x)a2 +... + ϕm(x)am . При фиксированных индексах i и j для вычисления суммы по индексу k в команде

b(i,j)=sum(phi(x,i).*phi(x,j)) использована встроенная функция sum(). Поскольку в инструкции phi(x,i).*phi(x,j) использован оператор .* поэлементного произведения, то результатом этой инструкции является список, который получается поэлементным произведением списков phi(x,i) и phi(x,j). При этом мы предполагаем, что функция, на которую указывает указатель phi, такая, что ее первым аргументом может быть список. Как раз для вычисления суммы по всем элементам списка и применялась функция sum(). Аналогичным образом вычисляется результат выражения

c(i)=sum(y.*phi(x,i)). В этом случае вычисляются элементы вектора n

ci = ∑ykϕi(xk )

324

Глава 8. Обработка данных

Результат (вектор-столбец коэффициентов аппроксимирующего выражения) вычисляется командой res=b\c. Окно редактора m-файлов с кодом этой функции представлено в документе на рис. 8.9.

Рис. 8.9. Код функции для вычисления коэффициентов аппроксимирующего выражения

Если функция LSFit() позволяет вычислить коэффициенты в аппроксимирующем выражении, то функция GetFit() предназначена для вычисления по этим коэффициентам значения аппроксимирующего выражения. Она имеет следующий код:

function res = GetFit(a,x,phi) m=length(a);

res=0; for i=1:m

res=res+phi(x,i)*a(i); end

end

У функции три аргумента: список коэффициентов в линейной комбинации (переменная a), список со значениями аргумента, для которых вычисляется значение аппроксимирующего выражения (переменная x), а также указатель на базовую функцию (переменная phi). Функция GetFit() возвращает результат – список значений аппроксимирующего выражения в узловых точках, определяемых списком x (второй аргумент функции). Переменная-результат обозначена как res. В теле функции командой m=length(a) определяется количество элементов в списке коэффициентов. Параметр m автоматически определяет количество слагаемых в линейной комбинации базисных функций для аппроксимирующего выражения.

325

Самоучитель Matlab

Сначала переменной res присваивается нулевое значение, а затем в операторе цикла (в котором индексная переменная i пробегает значения от 1 до m) ее значение изменяется в команде res=res+phi(x,i)*a(i). Здесь использован оператор матричного умножения *, но это не принципиально, поскольку в данном случае список phi(x,i) умножается на скаляр a(i) при фиксированном индексе i. Список phi(x,i) представляет собой набор значений базисной функции с индексом i для значений аргументов из списка x. Каждый элемент этого списка умножается на скалярное значение a(i), и полученные на каждом итерационном шаге списки складываются (в результате выполнения оператора цикла). Общий результат дает значение аппроксимирующего выражения для набора точек из списка x. Программный код функции GetFit() можно видеть в документе на рис. 8.10, где представлено окно редактора m-файлов.

Рис. 8.10. Код функции для вычисления значения аппроксимирующего выражения

Наконец, следующая функция MyFit() объединяет в себе две предыдущие функции LSFit() и GetFit(). С ее помощью вычисляются значения аппроксимирующего выражения и строятся соответствующие графики. Результат функцией не возвращается. Код у функции следующий:

function MyFit(x,y,z,phi,m) a=LSFit(x,y,phi,m); res=GetFit(a,z,phi); plot(x,y,'rs','LineWidth',2); hold on;

grid on; plot(z,res,'b-','LineWidth',2); title('Базовые точки и аппроксимация');

legend('базовые точки','аппроксимация'); hold off;

end

326

Глава 8. Обработка данных

Этот же код в редакторе m-файлов представлен на рис. 8.11.

Рис. 8.11. Функция для выполнения линейной аппроксимации

У функции MyFit() пять аргументов. Первые два аргумента (переменные x и y) определяют базовые точки, на основе которых строится аппроксимирующее выражение. Третий аргумент (переменная z) содержит список значений, которые служат аргументом для вычисления аппроксимирующего выражения. Указатель phi является ссылкой на базисную функцию (от двух аргументов). Последний, четвертый аргумент (переменная m), определяет количество слагаемых в аппроксимирующем выражении. Код у функции достаточно простой. Командой a=LSFit(x,y,phi,m) вычисляются коэффициенты аппроксимирующего полинома. Командой res=GetFit(a,z,phi) вычисляется значение аппроксимирующего полинома в точках, которые определяются списком z. После этого полученные зависимости отображаются на графике. Базовые точки отображаются командой plot(x,y,'rs','LineWidth',2). Точки отображаются красными квадратами (толщина линий 2). Командой hold on переходим в режим удержания графики. Сетку отображаем командой grid on. После этого командой plot(z,res,'b-','LineWidth',2) отображается аппроксимирующая кривая (синий цвет, сплошная линия толщины 2). Заголовок добавляется командой title('Базовые точки и аппроксимация'). Команда legend('базовые точки','аппроксимация') нужна для добавления легенды. Наконец, для выхода из режима удержания графики используем команду hold off.

Теперь перейдем к проверке работоспособности созданных функций. Для этого обратимся к командному коду, представленному в документе на рис. 8.12.

327

Самоучитель Matlab

Рис. 8.12. Создание аппроксимирующего полинома

Рис. 8.13. Аппроксимация полиномом

Рис. 8.14. Добавлены команды для аппроксимации косинусами

328

Глава 8. Обработка данных

Здесь мы использовали такие команды:

>>x=0:10;

>>y=cos(x)./(1+x);

>>phi=@(x,k)x.^(k-1);

>>z=0:0.01:10;

>>MyFit(x,y,z,phi,5);

Переменная x содержит значения узловых точек, а переменная y содержит значения табулированной функции в этих точках. Переменная z содержит значения по аргументу, для которых вычисляется аппроксимирующее выражение. Командой phi=@(x,k)x.^(k-1) задается функция двух переменных, которая соответствует базисным функциям вида ϕk (x) = xk −1 , то есть функциям 1, x , x2 и так далее. Другими словами, речь идет об аппроксимации выражением полиномиального вида. Результат получаем после выполнения команды MyFit(x,y,z,phi,5). Здесь речь идет об аппроксимирующем полиноме 4-й степени (пять слагаемых в полиноме). Результат представлен на рис. 8.13.

Достаточно просто выполняется аппроксимация на основе другой функции. Например, добавим в командное окно еще две команды (рис. 8.14).

Командой f=@(x,k)cos((k-1)*x) создается указатель f на новую базисную функцию вида ϕk (x) = cos((k −1)x), то есть 1, cos(x), cos(2x) и так далее. Аппроксимация (включая создание графиков) выполняется командой MyFit(x,y,z,f,5). Результат (график) показан на рис. 8.15.

Рис. 8.15. Аппроксимация косинусами

329

Самоучитель Matlab

Очевидно, что каждая аппроксимация (аппроксимация на основе разных базисных функций) имеет свои особенности. Кроме того, нередко основной интерес представляет не графическая кривая, а непосредственно коэффициенты линейной комбинации для аппроксимирующего выражения. Например, чтобы узнать коэффициенты разложения по степенным функциям, используем команду LSFit(x,y,phi,5). Коэффициенты для аппроксимации по косинусам узнаем с помощью команды LSFit(x,y,f,5) (рис. 8.16).

Рис. 8.16. Вычисление коэффициентов для аппроксимации по степенным функциям и косинусам

Как отмечалось выше, аппроксимация выражением линейного вида далеко не всегда позволяет получить приемлемый результат. Есть две ситуации: нелинейную зависимость удается свести к линейной, и нелинейную зависимость не удается свести к линейной. Начнем с первого случая. Поскольку он предполагает наличие конкретной функциональной зависимости, рассмотрим следующую задачу. Пускай по неотрицательным значениям табулированной функции yk в узловых точках xk (индекс k = 1,2,...,n ) необходимо для аппроксимации построить зависимость вида f(x) = a exp(bx).

330