11.Доказать, что в сильносвязном графе с симметричной матрицей смежности существует контур, проходящий через каждую дугу графа по одному разу.
12.Показать, что у дерева с двумя и более вершинами найдутся, по крайней мере, две висячие вершины.
13.Показать, что дерево, содержащее ровно две висячие вершины, является простой цепью.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №9
ТЕМЫ: ГРАФЫ
Теоретические вопросы
1)Дать определение понятий «цепь», «простая цепь», «путь», «простой путь», «цикл», «контур», «простой контур».
2)Двудольный граф. Критерий двудольности графа. Теорема
Кенига.
3)Связный граф. Сильносвязный, односторонне связный, слабосвязный.
4)Деревья. Расстояние между двумя вершинами графа, глубина дерева, высота дерева, лес, бинарное дерево.
5)Планарные графы. Теорема Эйлера о связи числа вершин, ребер и граней.
6)Эйлеровы графы.
7)Гамильтоновы графы.
Задачи
1. Для вершин
v1
и v 6 на рис. 1 привести примеры
маршрута, цепи, простой цепи.
Определить в графе циклический маршрут, цикл, приняв вершину v1 за их начало и конец, предварительно обозначив
e i ребра.
18
Рис. 1
2. Какими свойствами обладает отношение связности вершин графа на рис. 2? Чему равно число связных компонент графа?
Рис. 2
3. Являются ли ориентированные графы рис. 3 связными, сильносвязными?
G i
(i = 1, 2, 3) на
G1
Рис. 3 (начало)
19
G2
G3
Рис. 3 (окончание)
4. Содержат ли графы |
G1 |
– G 3 |
цикл (цепь)? Каковы расстояния графах?
a) G1 – тетраэдр;
и G 4 |
– |
между
G 7 |
на рис. 4 эйлеров |
вершинами в этих
b)
c)
G G
2 3
–тетраэдр с петлями во всех концах;
–куб;
d)G 4
e)G 5
Рис. 4 (начало)
20
f)
g)
G
G
6
7
Рис. 4 (окончание)
5.Имеют ли графы на рис. 5 гамильтоновы циклы, цепи?
Рис. 5
21