7. Пусть A(G) – матрица смежности орграфа G. Постройте граф G и матрицу инцидентности B(G). Найдите аналитически матрицы достижимости и сильной связности. Определите число
маршрутов длины 3 из вершины v 2 |
в вершину |
v 4 |
графа G и |
||||
выпишите их. |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
||
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
A G |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. Покажите, что любая вершина, входящая в цикл графа, не является висячей.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Так как по курсу дискретной математики в наличии очень мало литературы, то чтобы получить навык в решении основных задач, ниже приводятся 120 заданий, решение которых поможет усвоить основной материал курса.
|
1 – 10. Доказать тождества: |
||
1. |
A B A B |
||
3. |
A \ B A B |
||
5. |
A B A B |
||
7. |
A B C A B A C |
||
9. |
A B C A B C |
||
11 – 20. Упростить: |
|||
11. |
A B C |
|
B C |
A |
|||
12. |
A B \ A |
||
2. |
A A B A |
4. |
A B C A B A C |
6. |
A A B A |
8. |
A B C A B C |
10. A A U
B C
13.
A B B
14.A B A B A B
15.A \ B A B
16.A B A B A B
38
17. |
A B C A B C B C |
18.
19.
20.
A B A B B \ A \ A B A \ B
A B C X A
A
C B C C X
21 – 30. Для заданных множеств A и B напишите, чему равно множество A × B.
21.A = {1, }, B = {a, c}.
22.A = {{1}}, B = {a, {c}, {{g}}}.
23.A = {1, 2, 3}, B = {a, , b}.
24.A = { }, B = {{a}, c}.
25.A = {1, 2, {3}}, B = { }.
26.A = {{a}, {a, b}, b}, B = {1, 2}.
27.A = {1, 2, 3, 4}, B = {{1}, {2}}.
28.A = , B = {{a, c}}.
29.A = {{ }, {1}}, B = {3}.
30.A = {1, 2, {1, 2}}, B = {1, 2}.
31 – 40. Пусть установлено соответствие G между элементами множества R (G R2). Тогда на R2 каждой упорядоченной паре (x, y) будет соответствовать точка с координатами x и y, если (x, y) G.
Соответствие G, таким образом, можно изобразить графиком, представляющим собой множество точек плоскости R2. При этом соответствие G можно представить как G = {(x, y) R2 | P(x, y)}, где P(x, y) – определяющее свойство соответствия, которое выражается алгебраическими уравнениями и неравенствами. Постройте графики и определите свойства следующих соответствий:
31.G = {(x, y) R2 |
32.G = {(x, y) R2 |
33.G = {(x, y) R2 |
34.G = {(x, y) R2 |
35.G = {(x, y) R2 |
36.G = {(x, y) R2 |
37.G = {(x, y) R2 |
x y }; |
|
|
||||
y x |
}; |
|
|
|||
y x |
и x 0 }; |
|||||
x |
2 |
y |
2 |
1 |
}; |
|
|
|
|||||
x 2 y |
1 |
}; |
||||
y 0 и y x и x y 1}; y x 2 };
39
38.G = {(x, y) R2 |
39.G = {(x, y) R2 |
40.G = {(x, y) R2 |
y |
2 |
|
|
|
|
y x |
||
y x
x }; |
|
3 |
}; |
|
|
и y 0 }.
41 – 50. Найдите мощность указанного множества или проверьте истинность утверждения. Ответ обоснуйте.
41.card (N × P({a, b, c})) = ?
42.M = {x Q | 0 < x <1}, card M = 0 ?
43.card (N × Z) = ?
44.M = {x N |
x
N
}, card M = 0 ?
45.card ({N} × P({a, b, c})) = ?
46.M = {x Q | x < 0}×{ x Q | x ≥ 0}, card M = 0 ?
47.card ({a} × P({a, b, c})) = ?
48.M = {x | x = y3 и y Z}, card M = 0 ?
49.card ({b}×P({a, b})) = ?
50.M = {x Q | x < 0}×{ x Q | x ≥ 0}, card M = 0 ?
51 – 60. Пусть заданы на множестве A = {a, b, c} отношения ρi (i=1,…,10). Найдите свойства отношений.
51.ρ1 = {(a, a), (b, a), (c, b), (a, c), (c, c)};
52.ρ2 = {(a, a), (b, b), (b, c), (a, c), (c, c)};
53.ρ3 = {(a, a), (a, b), (b, c), (c, a), (a, c)};
54.ρ4 = {(a, a), (b, b), (b, c), (c, a), (a, c), (c, c)};
55.ρ5 = {(b, b), (b, a), (b, c), (c, a), (a, c), (c, c)};
56.ρ6 = {(b, b), (b, c), (a, c), (c, c)};
57.ρ7 = {(a, a), (a, b), (b, c), (c, a)};
58.ρ8 = {(a, a), (b, a), (b, c), (c, a), (a, c), (c, c)};
59.ρ9 = {(a, a), (a, b), (b, c), (a, c), (c, c)};
60.ρ10 = {(a, a), (b, b), (b, c), (c, a)}.
61 – 70. Найдите композицию отношений:
τρ, τ -1 ρ, ρ τ, ρ ρ, τ τ, ρ τ -1, ρ-1 τ -1 , ρ -1 τ, τ -1 ρ -1, τ -1 τ -1,
τρ -1, ρ -1 ρ -1:
61. |
ρ – «быть сыном», |
τ – «быть тетей» |
62. |
ρ – «быть сыном», |
τ – «быть матерью» |
63. |
ρ – «быть отцом», |
τ – «быть дочерью» |
40
64. |
ρ – «быть дядей», |
τ – «быть дочерью» |
65. |
ρ – «быть дочерью», |
τ – «быть дядей» |
66. |
ρ – «быть дядей», |
τ – «быть сыном» |
67. |
ρ – «быть сыном», |
τ – «быть дядей» |
68. |
ρ – «быть братом», |
τ – «быть отцом» |
69. |
ρ – «быть братом», |
τ – «быть дядей» |
70. |
ρ – «быть сестрой», |
τ – «быть матерью» |
71 – 80. Постройте диаграмму Хассе для отношения порядка «быть делителем», заданного на множестве A и найдите наибольший, наименьший, максимальный, минимальный элемент множества A относительно этого отношения.
71.A = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
72.A = {2, 3, 4, 5, 6, 8};
73.A = {2, 4, 8, 16, 24, 32};
74.A = {3, 4, 5, 6, 9, 10};
75.A = {2, 4, 6, 9, 12, 15};
76.A = {1, 2, 4, 6, 7, 12};
77.A = {1, 2, 3, 5, 15, 30};
78.A = {2, 3, 6, 9, 12};
79.A = {3, 5, 7, 9, 14};
80.A = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 16, 24, 32}.
81 – 90. Нарисуйте граф отношения, заданного на множестве A = {0, 2, 3, 4}, обладающего следующими свойствами (если возможно, придумайте свойства, задающие отношение ρ):
81.ρ – рефлексивное, несимметричное, транзитивное
82.ρ – антирефлексивное, симметричное, нетранзитивное
83.ρ – нерефлексивное, симметричное, нетранзитивное
84.ρ – нерефлексивное, антисимметричное, транзитивное
85.ρ – рефлексивное, антисимметричное, транзитивное
86.ρ – нерефлексивное, симметричное, нетранзитивное
87.ρ – антирефлексивное, антисимметричное, транзитивное
88.ρ – рефлексивное, антисимметричное, нетранзитивное
89.ρ – нерефлексивное, антисимметричное, нетранзитивное
90.ρ – рефлексивное, несимметричное, нетранзитивное
41
91 – 100. Постройте ориентированный |
граф по |
матрице |
|
смежности A. Найдите матрицу инцидентности и сильной |
|||
связности и количество путей длины 3 |
в |
графе. |
Найдите |
аналитически все пути длины 3 из вершины |
v 2 |
в вершину v 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
91. |
|
|
|
||
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93. |
|
|
|
||
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95. |
|
|
|
||
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1
1 |
0 |
0 |
||
1 |
1 |
0 |
|
|
|
||||
0 |
0 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
||
0 |
1 |
1 |
|
|
|
||||
0 |
1 |
0 |
||
0 |
1 |
0 |
|
|
|
||||
1 |
0 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
||
0 |
1 |
1 |
|
|
|
||||
1 |
1 |
0 |
||
0 |
0 |
1 |
|
|
|
||||
1 |
0 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
||
0 |
0 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
92. |
|
|
|
||
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
94. |
|
|
|
||
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
96. |
|
|
|
||
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0
1 |
1 |
0 |
||
0 |
1 |
1 |
|
|
|
||||
0 |
0 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
||
0 |
0 |
1 |
|
|
|
||||
0 |
1 |
1 |
||
0 |
1 |
0 |
|
|
|
||||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
||
0 |
1 |
1 |
|
|
|
||||
1 |
0 |
1 |
||
1 |
0 |
0 |
|
|
|
||||
0 |
0 |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
||
0 |
1 |
0 |
|
|
|
||||
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
||||
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
||
|
|
|
|||||||
97. |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
||||
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|||||||
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99. |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
||
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
98. |
|
|
|
||
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
100.
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
||
|
0 |
|
|
||
|
1 |
|
|
||
|
||
|
1 |
|
|
||
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|||
1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|||
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|||
42
101 – 110. Найдите изоморфные пары графов или докажите, что графы не изоморфны.
101.
102.
103.
104.
105.
43
106.
107.
108.
109.
110.
44
111 – 120. Найдите максимальный поток в данной транспортной сети. Числа у дуг графа означают пропускные способности дуг. Стрелки у дуг нарисованы в середине каждой дуги.
111.
112.
45
113.
114.
46
115.
116.
47
117.
118.
48
119.
120.
49