ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Вариант 1
1. Определите, какие из формул задают множества, а какие – нет.
А= {a, b, b, c}; B = {1, один, I}; C = {x | x > 0}; D = {A, A
2.Пусть A = {a, b, c}; B = {c}; C = {{a}, {b}, {c}}; D = {a, {c}}. Какие из утверждений являются верными?
a) B A; |
b) B A; |
c) B B; |
d) B B; |
e) B C; |
f) B C; |
g) B D; |
h) B D; |
i) A C; |
j) A C; |
k) A D; |
l) A D. |
3. Упростите формулы алгебры множеств: |
|
||
a) A B \ A A B ; |
b) A \ A \ B . |
|
|
}.
b,
Для проверки правильности преобразований постройте диаграммы Эйлера – Венна.
4. |
Определите виды соответствий: |
a) |
G = {(0; 2), (2; 0)}, причем G {0;2} × {0; 2}; |
b) |
F = {(m, n) Z × Z | m = 3n}; |
c) |
H = {(x, y) R × R | x 1 y }; |
d) |
J A × B, где A – множество книг в библиотеке; B – |
множество читателей; J – соответствие, при котором каждой |
|
книге поставлены в соответствие читатели, бравшие ее. |
|
5. |
Определите свойства бинарных отношений, заданных на |
множестве А = {5, 7, 8, 9, 10}, предварительно изобразив их с помощью графов:
ρ1 |
= {(x, y) A2 |
| (x + y) - четное}; |
|
ρ2 |
= {(x, y) A2 |
| x 1 y x 1 |
}; |
ρ3 |
= {(x, y) A2 |
| x 3 y }; |
|
ρ4 |
= {(x, y) A2 |
| y x 2 }. |
|
6. Придумайте отношение эквивалентности с тремя классами разбиения и все виды порядков на множестве B = {a, aba, cd, d} и на множестве четных натуральных чисел.
33
7. Пусть A(G) – матрица смежности орграфа G. Постройте граф G и матрицу инцидентности B(G). Найдите аналитически матрицы достижимости и сильной связности. Определите число
маршрутов длины 3 из вершины v 2 |
в вершину |
v 3 |
графа G и |
||||
выпишите их. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
||
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
A G |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
Покажите, что в любом графе количество вершин нечетной |
степени четно. |
|
Вариант 2 |
|
1. |
Определите, какие из формул задают множества, а какие – |
нет. |
|
|
А = {a, b, b, b}; B = {Иванов, Иванов, Сидоров}; |
|
C = {x | x2 + 1 > 0}; D = {A, A A }. |
2. |
Пусть A = {a, b, c}; B = {a, c}; C = {{a}, {b}, {a, c}}; |
D = {a, b, {c}}. Какие из утверждений являются верными?
a) B A; |
b) B A; |
c) B B; |
d) B B; |
e) B C; |
f) B C; |
g) B D; |
h) B D; |
i) A C; |
j) A C; |
k) A D; |
l) A D. |
3. Упростите формулы
a) A B \ A A
алгебры множеств:
B ; |
b) |
A \ A |
\ B |
. |
Для проверки правильности преобразований постройте диаграммы Эйлера – Венна.
4. Определите виды соответствий:
a)G = {(0; 2), (0; 0)}, причем G {0;2} × {0; 2};
b)F = {(m, n) Z × Z | m = n + 1};
c)H = {(x, y) R × R | y 1 2 x 2 };
d)J A × B, где A – множество студентов университета; B – множество номеров когда-либо выданных читательских билетов; J – соответствие, при котором каждому студенту поставлен в соответствие номер его студенческого билета.
34
5. Определите свойства бинарных отношений, заданных на множестве А = {-1, 0, 2, 5, 6}, предварительно изобразив их с помощью графов:
ρ1 |
= {(x, y) A2 |
| (x + y) - четное}; |
||||
ρ2 |
= {(x, y) A2 |
| |
x 1 y x 1 |
}; |
||
ρ3 |
= {(x, y) A2 |
| |
x |
3 |
y }; |
|
|
|
|||||
ρ4 |
= {(x, y) A2 |
| |
y x 2 }. |
|
||
6.Придумайте отношение эквивалентности с тремя классами разбиения и все виды порядков на множестве B = {a, ba, cd, bcd}
ина множестве простых натуральных чисел.
7.Пусть A(G) – матрица смежности орграфа G. Постройте граф G и матрицу инцидентности B(G). Найдите аналитически матрицы достижимости и сильной связности. Определите число
маршрутов длины 3 из вершины v 2 выпишите их.
0 |
1 |
||
|
0 |
1 |
|
|
|||
A G |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|||
|
|
||
|
0 |
0 |
|
|
|||
в вершину
1 |
0 |
||
0 |
1 |
|
|
|
|||
0 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
||
1 |
1 |
|
|
|
|||
v 3
графа G и
8. Покажите, что в двудольном графе все циклы могут быть только четной длины.
Вариант 3
1. |
Определите, какие из формул задают множества, а какие – |
|||||||||||
нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = {8, 10, 10, 10}; B = {«Спартак», «Динамо», «Динамо»}; |
|||||||||||
|
C = {x | x2 + 1 ≤ 0}; D = {A, A A }. |
|
||||||||||
2. |
Пусть A = {a, b, c}; B = {a, b}; C = {{a}, {a, b}, {c}}; |
|||||||||||
D = {a, b, {c}}. Какие из утверждений являются верными? |
||||||||||||
|
a) B A; |
|
b) B A; |
c) B B; |
d) B B; |
|||||||
|
e) B C; |
|
f) B C; |
g) B D; |
h) B D; |
|||||||
|
i) A C; |
|
j) A C; |
k) A D; |
l) A D. |
|||||||
3. |
Упростите формулы алгебры множеств: |
|
||||||||||
|
|
|
|
\ |
|
\ |
|
; |
b) |
B B |
A |
. |
|
a) A |
|
|
|
||||||||
|
B |
A |
A \ B |
|||||||||
35
|
Для проверки правильности преобразований постройте |
||||
диаграммы Эйлера – Венна. |
|
|
|
|
|
4. |
Определите виды соответствий: |
|
|
||
a) G = {(0; 2), (2; 2)}, причем G {0;2} × {0; 2}; |
|||||
b) |
F = {(m, n) Z × Z | m 1 n 1 |
2 |
}; |
||
|
|||||
c) |
H = {(x, y) R × R | x |
3 |
y }; |
|
|
|
|
|
|||
d) J A × B, где A – множество жителей г. Иваново; B – множество шестизначных натуральных чисел; J – соответствие, при котором каждому жителю г. Иваново поставлено в соответствие шестизначное число, которое совпадает с номером его домашнего телефона.
5. Определите свойства бинарных отношений, заданных на множестве А = {5, 7, 8, 9, 10}, предварительно изобразив их с помощью графов:
ρ1 |
= {(x, y) A2 |
| |
ρ2 |
= {(x, y) A2 |
| |
ρ3 |
= {(x, y) A2 |
| |
ρ4 |
= {(x, y) A2 |
| |
x
y
y 15 }; 3 y x
y 5 }; x 3 }.
3
};
6.Придумайте отношение эквивалентности с тремя классами разбиения и все виды порядков на множестве B = {ab, b, acd, ad}
ина множестве отрицательных целых чисел.
7.Пусть A(G) – матрица смежности орграфа G. Постройте граф G и матрицу инцидентности B(G). Найдите аналитически матрицы достижимости и сильной связности. Определите число
маршрутов длины 3 из вершины v1 выпишите их.
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
A G |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
||
в вершину
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
||
v 3
графа G и
8. Покажите, что ребро, входящее в цикл графа, входит в некоторый его простой цикл.
36