15. Пусть τ – отношение на A, B A. Доказать, что если τ

рефлексивное (симметричное, транзитивное) отношение на B.

порядок на An.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ №7-8

ПОДГОТОВКА К ПРОМЕЖУТОЧНОМУ КОНТРОЛЮ №2

Теоретические вопросы

1)Определение графа ориентированного, неориентированного. Определение ребра, определение дуги.

2)Степень вершины, псевдограф, мультиграф.

3)Изоморфные графы.

4)Сумма степеней всех вершин графа.

5)Свойства простых неориентированных графов.

6)Бинарное дерево сортировки.

7)Матрица смежности ориентированного и неориентированного графа.

8)Матрица инцидентности ориентированного и неориентированного графа.

9)Количество путей длины k в графе.

10)Матрица достижимости и сильной связности в графе.

Задачи

1.Воспроизведите доказательства соответствующих теорем

освойствах простых неориентированных графов в применении к контексту предлагаемых задач:

a)Существует ли полный граф с 7 ребрами?

b)Участники конференции по дискретной математике обменялись друг с другом конвертами с адресами. Докажите, что было передано четное число конвертов, а число участников, обменявшихся нечетным числом конвертов, – четное.

14

c)30 команд участвует в турнире по футболу. Докажите, что

влюбой момент найдется пара команд, сыгравших одинаковое количество матчей.

d)19 человек участвует в шахматном турнире. Докажите, что

влюбой момент найдется участник, сыгравший в турнире четное число партий.

e)7 школьников, разъезжаясь на каникулы, договорились, что каждый из них пошлет открытки трем из оставшихся. Может ли оказаться так, что каждый получит открытки именно от тех друзей, которым напишет сам?

f)9 шахматистов играют турнир в 1 круг. К некоторому моменту выясняется, что в точности двое сыграли одинаковое количество партий. Докажите, что, либо в

точности один участник не начал турнир, либо ровно один участник его закончил.

2.Изобразите простые неориентированные графы:

a)с 5 вершинами, у которого ровно 2 вершины имеют одинаковую степень;

b)с 5 вершинами, имеющими степени 0, 1, 2, 3, 4 соответственно;

c)с 7 вершинами и 6 ребрами;

d)с 6 вершинами, степени которых 2, 2, 3, 4, 4, 5 соответственно;

e)с 6 вершинами, степени которых 1, 2, 3, 4, 4, 4 соответственно.

3. Установите, какие из двух пар графов изоморфны: a)

15

b)

c)

d)

4.Постройте бинарное дерево, которое является словарем слов, составляющих текст задачи 3.

5.Дана матрица смежности А. Построить граф, составить матрицу инцидентности, найти количество путей длины 2 в графе, а также количество путей длины 3 из вершины v3 в вершину v2 и из вершины v1 в вершину v5.

16

7. Определить матрицу сильной связности S(D). Построить топологическое представление орграфа D, если дана матрица смежности.

8. Найти матрицу инцидентности, если дана матрица смежности.

9.Показать, что ребро, входящее в цикл графа, входит в некоторый его простой цикл.

10.Показать, что любая вершина, входящая в цикл, не является висячей.

17