ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ №5-6

ТЕМЫ: – ОТНОШЕНИЯ

– ДИАГРАММЫ ХАССЕ

Теоретические вопросы

1)Определение бинарного отношения.

2)Операции над отношениями. Обратное к отношению, композиция отношений.

3)Свойства отношений: рефлексивность, симметричность, транзитивность, эквивалентность.

4)Отношение нестрогого, строгого, линейного, частичного порядка.

5)Понятие диаграммы Хассе.

6)Наибольший, наименьший, максимальный, минимальный элементы множества относительно порядка.

Задачи

1. Найти ρ–1, ρ ρ, ρ–1 ρ, ρ ρ–1 отношений:

d)ρ = {(x, y) N 2 | x взаимно простое с y};

e)ρ = {(x, y) R 2 | x – y ≤ 0};

Определить свойства отношений.

2. Привести примеры отношений:

a)рефлексивного, симметричного, транзитивного;

b)рефлексивного, несимметричного, транзитивного;

c)рефлексивного, симметричного, нетранзитивного;

d)нерефлексивного, несимметричного, транзитивного;

e)рефлексивного, несимметричного, нетранзитивного;

f)нерефлексивного, симметричного, нетранзитивного –

12

на множествах A = {0, 1, 2, 3, 4}, N, R и людей.

3.Какими свойствами обладают отношения параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве?

4.Какими свойствами обладают операции включения и «быть истинным подмножеством» на множестве P(U), где U – некоторое универсальное множество.

5.Пусть на множестве M = {4, 6, 8, 10, 12, 16, 24, 30} введен порядок «быть делителем». Существуют ли в этом множестве наименьший и наибольший элементы? Есть ли в М максимальные и минимальные элементы?

6.Пусть на множестве М = {3, 6, 9, 12, 13, 15, 21, 30} введен порядок быть делителем. Существуют ли в этом множестве наименьший и наибольший элементы? Есть ли в М максимальные и минимальные элементы?

7.Доказать, что отношение ρ, заданное на множестве А, симметрично тогда и только тогда, когда ρ = ρ-1.

8.Является ли отношение ρ, заданное на множестве А,

симметричным, если ρ ρ -1 = ρ?

9. Доказать, что объединение ρ1 ρ2 двух отношений эквивалентности ρ1 и ρ2, заданных на множестве А, является

множестве А. Когда ρ1 ρ2 будет также линейным порядком на А?

13