ПРИМЕРЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ №1
1. Известно, что из 100 студентов живописью увлекаются 28, спортом – 42, музыкой – 30, живописью и спортом – 10, живописью и музыкой – 8, спортом и музыкой – 5, живописью, спортом и музыкой – 3.
Определить:
2.
a)количество студентов, увлекающихся только спортом;
b)количество студентов, ничем не увлекающихся.
ОТВЕТ:
a)30 человек;
b)20 человек.
Упростить выражение: A B A B .
ОТВЕТ: B A .
3. |
Найдите свойства соответствий: |
|||||||
|
G = {(x, y) R × R | x + y ≥ 0}; |
|||||||
|
F = {(x,y) N × N | x + y = 7}. |
|||||||
|
ОТВЕТ: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ВО |
С |
Ф |
И |
|
|
|
G |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
F |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
4. |
Докажите или опровергните утверждение: |
|||||||
|
|
A, B, C (A B B ≠ C A C). |
||||||
ОТВЕТ: НЕ ВЕРНО.
Например, A = {1, 2}; B = {1, 2, 3}; С = {{1, 2}, 4}. A B, но A B, B ≠ C и A C.
5. Является ли счетным множество M = Z×N?
ОТВЕТ: Да, как декартово произведение двух счетных множеств.
27
ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ №2
1.Пусть на множестве людей заданы отношения:
ρ – «быть сестрой» и τ – «быть внуком». Опишите словами
отношения:
a) τ τ; |
b) ρ ρ ; |
c) ρ τ – 1; |
|
d) ρ – 1 τ; |
e) ρ – 1 τ– 1 ; |
f) |
τ ρ – 1 ; |
g) τ – 1 ρ; |
h) ρ τ; |
i) |
τ ρ. |
2.Задайте множество А = {Иванов, Петров, Сидоров, Кольцов} с помощью описания подходящего свойства. Придумайте нерефлексивное, несимметричное, транзитивное отношение на А. Изобразите его в виде графа.
Пусть G = {(x, y) R × R |
y |
x |
2 |
|
2
},
F = {(x, y) N × N | y x5 2 }. Найдите свойства G и F как соответствий и как отношений.
3.Дана матрица смежности A(D) орграфа D. Построить граф на плоскости, найти аналитически матрицу сильной связности и матрицу инцидентности. Найти все пути
длины 2 и 3 из вершины v 4
1
0
A 101
в |
v 2 |
01
10
01
00
0 0
.
1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
28
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ
1.Основные понятия интуитивной теории множеств. Множество. Понятие принадлежности. Интуитивный принцип объемности.
2.Подмножество. Конечное, бесконечное и пустое множество. Способы задания множеств. Интуитивный принцип абстракции.
3.Парадокс Рассела. Его значение для теории множеств.
4.Операции алгебры множеств (их определение).
5.Теоремы:
1)A\B=?
2)Тождества алгебры множеств.
3)Теорема о попарной эквивалентности предположений о произвольных множествах.
6.Диаграммы Эйлера – Венна. Примеры.
7.Декартово произведение множеств. Мощность декартова произведения конечных множеств.
8.Соответствия и их виды. Понятия и определения:
1)Соответствие G.
2)Образ элемента.
3)Прообраз элемента.
4)Область определения соответствия.
5)Множество значений соответствия.
6)Всюду определенное соответствие.
7)Сюрьективное соответствие.
8)Функциональное соответствие.
9)Инъективное соответствие.
10)Отображение «в» и «на».
11)Биекция.
12)Таблица свойств соответствия.
13)Обратное соответствие.
14)Способы задания функции.
9. Мощность конечного множества. Равномощные множества. Теоремы:
29
1)О равномощных конечных множествах.
2)О мощности множества всех подмножеств конечного множества.
10. Бесконечные множества. Их равномощность. Теоремы:
1) О бесконечных подмножествах множества N.
2) О мощности множества N2 (обобщение этой теоремы).
3) Мощность объединения двух счетных множеств (обобщение этой теоремы).
4) Теорема Кантора и следствие из нее.
5) Теорема о мощности интервала.
6) Основные результаты теории мощности бесконечных множеств. Проблема континуума.
11.Отношения, определение бинарного, n–арного отношения.
12.Операции над отношениями (в том числе обратное и композиции отношений, пример).
13.Свойства отношений:
1)Рефлективность, антирефлективность, нерефлективность.
2)Симметричность, антисимметричность, несимметричность.
3)Транзитивность, нетранзитивность.
14.Отношение эквивалентности, примеры.
15.Разбиение множества А на классы. Теорема.
16.Фундаментальная теорема математики.
17.Отношения порядка.
1)Нестрогий порядок. Примеры.
2)Строгий порядок. Примеры.
3)Линейный (полный) порядок.
4)Частичный порядок. Характеристики отношения порядка. Линейно упорядоченное множество.
18.Диаграммы Хассе.
19.Изоморфные, частично упорядоченные множества.
20.Наименьший и минимальный элемент множества относительно порядка.
21.Наибольший и максимальный элементы множества относительно порядка.
22.Вполне упорядоченное множество.
30
23.Верхняя граница множества Х, supX=?
24.Нижняя граница множества Х, infX=?
25.Определение графа ориентированного, неориентированного, смешанного, пустого.
26.Степень вершины, псевдограф, мультиграф.
27.Изоморфные графы. Пример. Гомеоморфизм графов.
28.Маршрут, ориентированный маршрут, длина маршрута, замкнутый маршрут. Цепь. Простая цепь, путь, простой путь, цикл, простой цикл (контур). Пример.
29.Связные вершины. Связный граф. Орграф сильно связный, односторонне связный, слабосвязный, несвязный.
30.Простой неориентированный граф. Теорема о сумме степеней всех вершин. Теорема о числе вершин в простом полном неориентированном графе.
31.Двудольный граф.
32.Деревья. Неориентированное дерево. Расстояние между двумя вершинами графа, глубина вершины, высота дерева, лес, бинарное дерево.
33.Планарный граф. Примеры непланарных графов. Грань в планарном представлении графа. Мост, перегородка. Теорема о связи числа вершин, ребер и граней (с учетом бесконечной грани) для всякого плоского представления связанного планарного графа без перегородок.
34.Матрица смежности орграфа D, неориентированного графа G. Свойства матрицы смежности. Пример.
35.Матрица инцидентности орграфа D, неориентированного графа G. Свойства матрицы инцидентности.
36.Матрица достижимости, сильно связности. Пример. Компонент связности.
37.Гамильтоновы графы. Теоремы.
38.Эйлеровы графы (теорема). Полуэйлеровы графы.
39.Взвешенные графы. Задача о кратчайшем соединении. Алгоритм Краскала (пример).
40.Задача о кратчайших путях, восстановление кратчайшего пути. Алгоритм Дейкстры. Алгоритм Флойда.
31
41.Задача сетевого планирования и управления. Критический путь, источники и стоки. Резерв времени.
42.Потоки в сетях. Полный, максимальный поток. Алгоритм Форда – Фалкерсона.
32