2575

где σp – расчётное напряжение, равное σp = n · │σmax│; n>1,0 – расчётный коэффициент перегрузки на возможность превращения проектной внешней

нагрузки на балку; │σmax│ – наибольшее нормальное напряжение, которое можно вычислить по формуле

Wx – момент сопротивления поперечного сечения изгибу относительно оси

ох,

где m ≤ 1,0 – коэффициент условий работы, учитывающий возможные отклонения внешних фактов (температуры, влажности, агрессивных сред и т.п.); γm≥1,0 – коэффициент надёжности по материалу, учитывающий возможное несоответствие реальных свойств материала его нормальным свойствам; RН – нормативное сопротивление материала.

С точки зрения экономии материала имеет существенное значение правильное размещение опор балок (если к этому нет препятствий по производственным или другим соображениям).

Впростой балке, опёртой по концам и нагруженной равномерно рас-

пределённой нагрузкой, наибольший изгибающий момент (рис. 4.20,а) имеет место посередине пролёта: Мmax= ql2/8. Нетрудно убедится, что в балке такой же длины, но при наличии консолей (рис. 4.20,б) изгибающий момент будет меньше. Максимальный изгибающий момент имеет наименьшее значение тогда, когда момент в опорном сечении равен максимальному моменту в пролёте. Это условие выполняется при длине каждой

консоли 0,207l. Получающийся максимальный изгибающий момент Мmax = ql2/46,6. Таким образом, надлежащим размещением опор изгибающий момент удаётся уменьшить примерно в шесть раз.

Вдвухпролетной статически неопределимой балке приходится иметь

дело с тремя различными изгибающими моментами: МА, МВ и моментом в пролёте М2 (рис. 4.21,а). Чтобы балка имела наименьшее сечение, постоянное по всей длине, необходимо добиться равенства двух наибольших моментов из трёх указанных. Для двухпролетной балки без консолей той

же длины (0,408l·2 + 2l) наибольший изгибающий момент будет в сечении над средней опорой (рис. 4.22) М=q(1,408l)2/8=ql2 /4.

110

Таким образом, введение двух консолей в этом случае позволяет уменьшить расчётный момент в три раза. Соответствующий анализ позволяет установить наивыгоднейшее размещение опор и при других видах нагрузки.

Наиболее выгодными сечениями балок с точки зрения затрат материала являются такие, у которых наибольшая доля материала размещена в верхней и нижней частях сечения, где напряжения наибольшие и материал поэтому наиболее полно используется.

Для количественной оценки ра-

циональности сечения (по затрате материала) может служить безразмерная ве-

личина ωõ =Wx / F 3 , называемая осе-

вым удельным моментом сопротивле-

ния. Величина ωx зависит только от формы сечения. На рис. 4.23 приведены значения ωx для некоторых наиболее распространённых сечений. Как видим, наименее выгодными являются круглое, квадратное и подобные им сечения, у которых

большое количество материала сконцентрировано у нейтральной оси, где материал напряжён весьма мало. Наиболее выгодными являются сечения в форме двутавра, швеллера и коробчатые.

Рис. 4.23. Характеристика эффективности сечений конструкций

111

4.6. Элементы строительной механики

Наука о расчёте сооружений на прочность, устойчивость и жёсткость называется строительной механикой.

Вопросы расчёта на прочность, устойчивость и жёсткость излагаются в курсе сопротивления материалов. Однако между строительной механикой и сопротивлением материалов существует различие, которое состоит в том, что в курсе сопротивления материалов рассматривается расчёт отдельных конструктивных элементов сооружений, а в курсе строительной механики – сооружения в целом, но строгое разграничение обеих наук провести затруднительно, поскольку многие граничные вопросы могут быть отнесены к любой из них.

ГОС предусматривает обязательный минимум знаний по дисциплине «Строительная механика»: кинематический анализ стержневых систем; определение усилий в статически определимых стержневых системах при неподвижной и подвижной нагрузках; основные теоремы о линейно деформируемых системах; определение перемещений; расчёт статически неопределимых систем методом сил, перемещений, смешанным, комбинированным; матричный метод расчёта перемещений стержневых систем; пространственные системы; расчёт сооружений методом конечных элементов; расчёт конструкций методом предельного равновесия; динамический расчёт сооружений; устойчивость сооружений.

Строительная механика основывается на законах математики, физики, теоретической механики, сопротивления материалов, а также на результатах наблюдений за сооружениями. Эта наука создаёт необходимую подготовку для изучения курсов инженерных конструкций.

Прочность, устойчивость и жёсткость сооружения зависят не только от материала, размеров и формы его элементов, но и от внутренних сил, которые возникают и развиваются в сооружении при действии на него нагрузок, поэтому при всяком расчёте в первую очередь должны быть найдены внутренние силы. Если размеры элементов сооружения заданы, то по внутренним силам можно судить о прочности, устойчивости и жёсткости каждого элемента сооружения и всего сооружения в целом (поверочный расчёт). Если размеры элементов сооружения неизвестны, то по внутренним силам можно определить размеры, удовлетворяющие прочностным характеристикам сооружения (проектировочный расчёт).

В строительной механике внутренние силы обнаруживаются при помощи метода сечений, который переводит их в равные внешние силы и моменты воздействия одной части рассекаемого сооружения на другую, именуемые заменяющими [34, 46], поэтому когда речь пойдет речь о внутренних силах, будем подразумевать равные им заменяющие силы. Эти заменяющие воздействия, прикладываемые в местах разреза стержня, обычно представляются изгибающими и крутящими моментами, продольными и поперечными силами.

112

При определении внутренних сил надо иметь в виду, что всякое сооружение под нагрузкой меняет свою форму – деформируется. Деформация нарастает до тех пор, пока внутренние силы сооружения, развивающиеся при ней, не будут в состоянии препятствовать росту деформаций сооружения, после чего наступает его равновесие в деформированном состоянии. Это значит, что любая выделенная часть сооружения после приложения к ней в мысленно проводимых сечениях заменяющих сил взаимодействия будет находиться в равновесии. Если же материал сооружения по своей физической природе не в состоянии развить такие внутренние силы, которые препятствовали бы росту деформации и создали бы равновесие в деформированном состоянии, то деформация продолжается до его разрушения.

Методы расчета конструкции. Существуют три метода расчёта строительных конструкций и сооружений: метод расчёта по допускае-

мым напряжениям; метод расчёта по допускаемым нагрузкам; метод расчёта по предельным состояниям.

Метод расчёта по допускаемым напряжениям состоит в том, что оценка прочных и устойчивых форм равновесия деформированных состояний конструкций производится путём сопоставления наибольших нормальных или касательных напряжений от действующей нагрузки, обозначаемых буквой σ, с аналогичными допускаемыми напряжениями [σ] для данного материала. Допускаемое напряжение принимается как некоторая доля напряжения, признаваемого по соображениям прочности или устойчивости за опасное. Условие прочности (устойчивости) по этому методу

может быть записано в виде σ ≤ [σ] = σопасн / k*, где k*>1 – коэффициент запаса предусматривает запас прочности материала на возможный рост на-

грузок, отклоняющий его прочностные качества в худшую сторону, на неточность расчёта и изготовления сооружения и т.д.

Метод расчёта по допускаемым нагрузкам состоит в том, что оцен-

ка прочности и устойчивости сооружения производится путём сопоставления действующей на сооружение нагрузки, обозначаемой здесь в общем виде буквой Р, с допускаемой нагрузкой [Р]. Условие прочности (устойчи-

вости) по этому методу записывается так: Р ≤ [P] = Ропасн / k*.

Основной недостаток обоих старых методов расчёта состоит в том, что у них единый коэффициент запаса на все случаи работы сооружения, в то время как, например, некоторые нагрузки обладают различной степенью достоверности и различной возможностью к их росту, поэтому запас на рост таких нагрузок должен быть различным. Этот недостаток был устранён в новом методе расчёта сооружений – по предельным состояниям.

Метод расчёта по предельным состояниям состоит в том, что рас-

чёт сооружений проводится в условиях так называемых предельных состояний. Предельным состоянием сооружения называется такое состояние,

113

при котором сооружение теряет способность к сопротивлению внешним воздействиям или приходит в состояние, не пригодное для эксплуатации.

Предельные состояния подразделяются на две группы:

•первая группа – по потере несущей способности;

•вторая группа – по непригодности к нормальной эксплуатации.

Кпредельным состояниям первой группы относятся: общая потеря устойчивости формы; потеря устойчивости положения; хрупкое, вязкое, усталостное или иного характера разрушения; разрушение под совместным воздействием силовых факторов и неблагоприятных влияний внешней среды; качественное изменение конфигурации; резонансные колебания; состояния, при которых возникает необходимость прекращения эксплуатации в результате текучести материала, сдвигов в соединениях, ползучести или чрезмерного раскрытия трещин.

Кпредельным состояниям второй группы относятся состояния, затрудняющие нормальную эксплуатацию конструкций и оснований или снижающие их долговечность с появлением недопустимых деформаций (прогибов, осадок), колебаний, трещин и т. п. Расчёт по предельным состояниям должен оградить сооружение от появления в эксплуатации како- го-либо вида предельного состояния. Сооружения прежде всего должны удовлетворять расчёту по первому предельному состоянию, а затем – по второму (в зависимости от типа сооружения).

Условие прочности в методе расчёта по предельным состояниям для

простых деформаций может быть в двух видах: S≤Nпред=mRA; σ=N/A≤mR, где N – внутренняя сила от расчётной нагрузки; Nпред – предельная внутренняя сила, определяемая по эпюре напряжений в предельном состоянии;

R – расчётное сопротивление; А – геометрическая характеристика сечения; m – коэффициент условий работы; σ – наибольшее напряжение от расчётной нагрузки в эпюре, по своему виду похожей на эпюру напряжений в предельном состоянии.

Основной смысл расчёта сооружений по предельным состояниям заключается в разделении единого коэффициента запаса на три самостоя-

тельных (коэффициент перегрузки, коэффициент безопасности по материалу и коэффициент условий работы), которые в разных условиях различны, что позволяет более гибко оперировать с ними.

Оценка жесткости сооружения по всем трем методам проводится примерно одинаково: путём сопротивления наибольших перемещений от действительной или нормативной нагрузки с перемещениями, допускаемыми при эксплуатации сооружения.

Основные конструкции. Конструкции и их расчётные схемы классифицируют по различным признакам: геометрическим, кинематическим, по особенностям работы и т. п.

По геометрическим признакам конструкции подразделяют на пло-

114

ские и пространственные. В плоской конструкции осевые линии всех элементов расположены в одной плоскости. В противном случае конструкция (система) является пространственной.

По кинематическим признакам различают системы: геометрически неизменяемые неподвижные без лишних связей, геометрически изменяемые. Конструкции могут быть распорными и безраспорными. Для распорных систем характерно наличие горизонтальных составляющих опорных реакций при вертикальных нагрузках.

По особенностям работы конструкций различают висячие, балоч-

ные, рамные, арочные системы и т.д. (рис. 4.24).

Висячие системы относятся к распорным. Особенностью работы висячих тросовых (канатных) или сплошных листовых систем является то, что их элементы могут воспринимать только усилия растяжения. Горизонтальные составляющие опорных реакций в висячих системах воспринимаются жёсткими элементами, например колоннами, замкнутыми кольцами и реакциями (кольцами, эллипсами рам и арками, наклонными в системе).

Рис. 4.24. Балки (а), рамы (б), висячие конструкции (в), арки (г) и фермы (д)

Балочные системы относятся к безраспорным. Балки (брусья) работают на изгиб; вертикальная нагрузка не вызывает в них горизонтальной составляющей реакции – распора. Балки бывают однопролётные и многопролётные. К балочным конструкциям относят и опёртые по двум противоположным концам плиты (балочные плиты).

Рамные системы могут быть распорными и безраспорными. Рама – это стержневая система из стоек и балок, ригелей с жёсткими либо (частично) с шарнирными узлами. Стержни рамы работают на изгиб и воспринимают осевые усилия. Рамы бывают однопролётные и многопролётные, одноэтажные и многоэтажные, симметричные и несимметричные, с пря-

115

молинейными, ломаными криволинейными ригелями и с перепадом высот. Арка – распорная система, состоящая из одного криволинейного элемента (или двух, соединённых шарниром). Арки бывают бесшарнирные, двухшарнирные, трёхшарнирные. Арочные системы работают преимущественно на одноосное сжатие, что позволяет использовать полнее их мате-

риал.

Ферма – стержневая система с шарнирными узлами. По условиям опирания различают фермы балочные, консольно-балочные, арочные; применяют также висячие фермы.

Оболочки – это изогнутые тонкие пластинки, толщина которых в сотни раз меньше других размеров; оболочки характерны наилучшим использованием материала, из которого они выполнены. Несущую способность плит или пластинок можно увеличить

116

1)шарнирно-подвижная опора (рис. 4.25,а), схематическое изображение которой показано на рис. 4.25,в; стержень может свободно поворачиваться относительно точки m, которая в свою очередь может перемещаться по горизонтали при изгибе балки (рис. 4.25,д) и при закономерных температурных воздействиях среды (рис. 4.25,е).

2)шарнирно-неподвижная опора (рис. 4.25,б), схематичное изображение которое показано на рис. 4.25,г. Из рисунка видно, что точка m не может перемещаться в плоскости чертежа, но сечение самого стержня может свободно поворачиваться относительно шарнира; в шарнирнонеподвижной опоре возникают две составляющих реакций – Rn и Hn;

3)третий тип закрепления стержня не допускает как перемещений, так и поворота закреплённого сечения (рис. 4.25,ж,и). Его схематическое изображение показано на рис. 4.25,к. В этом случае говорят, что конец стержня жёстко заделан в стену. В защемлённой опоре, с её тремя опор-

ными стержнями, возникают три составляющие реакции: Rm, Hm и реактивный момент Mm.

Расчётные схемы конструкций. Расчётная схема конструкций – это упрощенное изображение её несущей и опорной систем. Стержни на расчётной схеме показывают в виде их центральных линий, пластины – в виде их срединных поверхностей, реальные опоры – также в виде соответствующих схем и т. д. Расчётная схема учитывает только основные параметры конструкции: формы и размеры отдельных её элементов, характер взаимодействия между ними, значение, расположение и характер нагрузок. Второстепенные свойства конструкций при этом не учитываются.

При составлении расчётных схем необходимо учитывать способы соединения между собой элементов в конструкции. Места

соединения элементов на- Рис. 4.26. Схема деформаций элементов рамы

зываются узлами, которые могут быть шарнирного или бесшарнирного типа по характеру статиче-

ской работы. Шарниры позволяют свободно поворачиваться концевым сечениям стержней относительно друг друга. Моменты в шарнирных соединениях равны нулю.

При наличии жёстких бесшарнирных соединений, все стержни в узлах поворачиваются совместно. Моменты в сечениях, принадлежащих узлам, не равны нулю. На рис. 4.26 представлена однопролётная рама, в которой стержни в левом узле соединены жёстко, а в правом узле – шарнирно. При деформации рамы от горизонтальной силы Р, приложенной в узле, угол

117

между касательными к осям стержней остаётся прямым, а в шарнирном узле происходит взаимный поворот концов стержней и угол между осями стержней в узле изменяется. В качестве примера на рис. 4.27 представлены расчетные схемы стержневых конструктивных систем.

д)

е)

Рис. 4.27. Расчетные схемы: а – г – балок; д – фермы; ж – и – однопролетных рам; е

–к – арок

4.7.Элементы кинематического анализа конструкций

Вкачестве инженерных конструкций можно применять такие системы, которые способны воспринимать внешнюю нагрузку, не изменяя геометрической формы, заданной им при возведении. Для этого они должны быть геометрически неизменяемыми и неподвижными относительно осно-

118

вания (земли). Проверка геометрической неизменяемости и неподвижности системы производится с помощью кинематического анализа, который удобно проводить в два этапа. На первом этапе определяется степень свободы системы, а на втором проводится анализ геометрической структуры сооружения.

Определение степени свободы системы. Под свободой системы по-

нимается её возможность совершать какие-либо перемещения относительно земли без деформации элементов. Степенью свободы системы называют число независимых геометрических параметров, определяющих её положение в пространстве относительно неподвижного тела (земли).

Точка имеет на плоскости степень свободы, равную двум, так как её положение определяется двумя координатами. Стержень (брус или, в более общем понятии, диск) имеет на плоскости степень свободы, равную трём, так как он, кроме поступательных перемещений, может поворачиваться вокруг какой-либо точки. Чтобы диск был неподвижен, нужны три кинематические связи (рис. 4.28,в).

При прикреплении диска к земле тремя параллельными связями (рис. 4.28,а), система имеет одну степень свободы, поэтом она является изменяемой, так как диск относительно земли может перемещаться по горизонтали. Если три связи пересекаются в одной точке (рис. 4.28,б), то диск может повернуться относительно точки n, следовательно, система «земля – диск» является мгновенно изменяемой.

На рис. 4.28,в показан наиболее простой случай прикрепления жесткого диска к земле тремя связями. Точка n скреплена с двумя линейными связями и поэтому она не может перемещаться в плоскости чертежа. Эти две связи образуют цилиндрический шарнир, расположенный в точке n. В

Анализ геометрической не-

119